Ableitung von |x|?

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07.09.2009, 16:54

Eva-S

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Ableitung von |x|?

Kurze Frage, wie ist denn die erste Ableitung von f(x) = |X| ?

07.09.2009, 17:01

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} f(x) = |x| = \begin{cases} x~\text{für }x \geq 0 \\ -x~\text{für } x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \begin{cases}... \\ ...\end{cases} \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 17:02

Nubler

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bilde mal:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\searrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\nearrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ? \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 17:14

Eva-S

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$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\searrow 0} \end{eqnarray*}$

bedeutet das "linksseitiger Grenzwert" oder so etwas?
Ich kenne das Zeichen leider nicht!?

07.09.2009, 17:23

Nubler

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Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\searrow 0} \end{eqnarray*}$

bedeutet das "linksseitiger Grenzwert" oder so etwas?
Ich kenne das Zeichen leider nicht!?

es is der rechtsseitige.

paar mögliche notationen

07.09.2009, 19:41

Mistmatz

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Gibt auch nen anderen (komplizierteren) Weg: $\begin{eqnarray*} \left|x\right|=\sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ Das lässt sich ganz leicht ableiten...

07.09.2009, 23:25

system-agent

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@ Q-fLaDeN und Mistmatz
Ihr wisst schon, dass die Betragsfunktion nicht differenzierbar ist?
Man kann höchstens, formal gesagt, eine weitere Funktion zb. $\begin{eqnarray*} g:[0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten, definiert durch $\begin{eqnarray*} g(x):=|x|=x \end{eqnarray*}$ und das ist differenzierbar.

07.09.2009, 23:32

Mistmatz

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Wirklich? Ich hab gelernt, dass sie nur an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist verwirrt

Meine Ableitung sieht dann so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\sqrt{x^2}=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|} \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 23:34

Q-fLaDeN

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Jop und meine sähe so aus

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \begin{cases} 1~\text{für }x > 0 \\ -1~\text{für } x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 23:39

Mistmatz

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So wie meine nach ner Fallunterscheidung (dafür bin ich aber jetzt zu faul) Freude

07.09.2009, 23:43

system-agent

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Naja, da gibt es eben eine kleine Feinheit der Begriffe:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:I\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} I\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Intervall, heisst differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x_0\in I \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ existiert.
Das ist die Definition der Differenzierbarkeit in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .
Und nun:
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heisst differenzierbar genau dann, wenn sie in jedem Punkt in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.

Das bedeutet, die Betragsfunktion als Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist nicht differenzierbar, da sie im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist.

@Mistmatz:
Und du siehst hier perfekt, dass die Ableitung in Null nicht definiert ist !

@Q-fLaDeN:
Das ist die Ableitung der Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x~\text{für }x > 0 \\ -x~\text{für } x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

07.09.2009, 23:48

Mistmatz

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Und wieder was dazu gelernt Freude

Nur wird so etwas in der Schule halt nicht so genau unterrichtet. Da wird einfach mal abgeleitet und dann geschaut ob die Ableitung an der entsprechenden Stelle existiert und stetig ist. Wenn beides mit JA beantwortet werden kann, ist die Funktion (für uns Schüler) differenzierbar...

07.09.2009, 23:57

system-agent

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Zitat:

Original von Mistmatz
Da wird einfach mal abgeleitet und dann geschaut ob die Ableitung an der entsprechenden Stelle existiert und stetig ist.

Damit eine Funktion differenzierbar ist, braucht sie aber keine stetige Ableitung zu haben !

Falls eine Funktion differenzierbar ist und zusätzlich auch die Ableitungsfunktion stetig ist sagt man, dass die Funktion stetig differenzierbar ist.

Das übliche Beispiel einer Funktion die nicht stetig differenzierbar ist, ist:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} x\mapsto\begin{cases}x^2\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\quad\text{für } x\neq0 \\ 0\quad\text{für } x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$
Die Ableitung ist für $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ , aber der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ existiert nicht, also unstetig.

08.09.2009, 00:01

Mistmatz

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Oh, falsch ausgedrückt...
Ich meinte, wir haben bisher immer nur geschaut, ob für die Ableitung an der entsprechenden Stelle der rechtsseitige Grenzwert gleich dem linksseitigen Grenzwert und diese dann gleich dem Funktionswert an dieser Stelle sind...

08.09.2009, 00:04

Q-fLaDeN

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Danke für die Erklärung. Dann hab ich das sogar von meinem "Über" Mathe Lehrer falsch gelernt. Dass die Funktion nicht auf ganz R differenzierbar ist, war mir schon klar, aber eben nicht das von dir gesagte Augenzwinkern

08.09.2009, 10:38

Eva-S

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Hey, danke für die Diskussion zu meiner Frage.

Kann ich vereinfacht sagen, wenn ich die Betragsfunktion f(x) = |x| auf ganz R\{0} definiere, dann gilt auch:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\sqrt{x^2}=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|} \end{eqnarray*}$ ?

08.09.2009, 10:54

system-agent

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Ja, das kannst du so sagen.

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