ggt, kgv und Distributivgesetz

07.09.2009, 18:00	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
ggt, kgv und Distributivgesetz Hallo, Habe ein Paar Zahlentheorie-Aufgabe, wo ich nicht weiter komme. Seien a,b,c element N Beweisen sie die wechselseitige Distributivregeln: kgv(ggt(a,b), c) = ggt(kgv(a,c),kgv(b,c)) ; ggt(kgv(a,b), c) = kgv(ggt(a,c),ggt(b,c)) und ggt(a+b, kgv(a,b)) = ggt(a,b) bin wirklich dankbar für jede Hilfe
07.09.2009, 18:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es bezeichne $\begin{eqnarray} e_p(a) \end{eqnarray}$ den Exponenten der Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ innerhalb der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ - mit anderen Worten: diejenige Zahl mit $\begin{eqnarray} p^{e_p(a)} \mid a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p^{e_p(a)+1} \nmid a \end{eqnarray}$ . Ist z.B. $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ gar nicht in der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ zu finden, so ist gemäß dieser Defintion einfach $\begin{eqnarray} e_p(a)=0 \end{eqnarray}$ . Dann kann man aus der Definition von ggT und kgV sowie dem Satz von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgende Äquivalenzen aufstellen: $\begin{eqnarray} \operatorname{ggT}(a_1,\ldots,a_n) = b \quad\Longleftrightarrow\quad \forall p\in\mathbb{P}: \; \min(e_p(a_1),\ldots,e_p(a_n)) = e_p(b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{kgV}(a_1,\ldots,a_n) = b \quad\Longleftrightarrow\quad \forall p\in\mathbb{P}: \; \max(e_p(a_1),\ldots,e_p(a_n)) = e_p(b) \end{eqnarray}$ Mit den Abkürzungen $\begin{eqnarray} u=e_p(a),v=e_p(b),w=e_p(c) \end{eqnarray}$ reduzieren diese Äquivalenzen deine Behauptungen zu $\begin{eqnarray} \max(\min(u,v),w) = \min(\max(u,w),\max(v,w)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \min(\max(u,v),w) = \max(\min(u,w),\min(v,w)) \end{eqnarray}$ für beliebige nichtnegative ganze Zahlen $\begin{eqnarray} u,v,w \end{eqnarray}$ . Sie gelten aber sogar für beliebige reelle Zahlen, wie man sich durch Fallunterscheidung hinsichtlich der Ordnungsreihenfolge von $\begin{eqnarray} u,v,w \end{eqnarray}$ klarmachen kann, da sind ja nur $\begin{eqnarray} 3! = 6 \end{eqnarray}$ Fälle, wenn man o.B.d.A. $\begin{eqnarray} u\leq v \end{eqnarray}$ annimmt sogar nur 3 Fälle zu untersuchen.
07.09.2009, 19:00	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Danke den Gedanken hatte ich auch, nur, dass ich mir die komplette Primfaktorzerlegung meiner Ausdrücke hingeschrieben hatte und das sah so merkwürdig aus, dass ich die ganze Sache wieder verworfen habe also noch mal danke

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