spur f, wenn orthonormalbasis gegeben

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LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »
spur f, wenn orthonormalbasis gegeben
hallo,
ich hab hier ne aufgabe und leider keine ahnung, wie man an sowas rangeht.

n=dimV und {v1,v2,..vn} Orthonormalbasis von V
zu zeigen:
Spur f =



also spur f = a11+a22+...+ann =

und da v1,...vn ONB gilt

und stimmt das das f(v)=A*v ?

aber trotzdem komme ich irgendwie nicht weiter
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das Skalarprodukt auch wie folgt schreiben :



Sei V die Matrix aus den Vektoren der Basis, was hat dann



mit den obigen Ausdrücken zu tun? Denk dran das die Spur invariant unter Ähnlichkeit ist.
LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »

also ich pobiers mal weiter:

Spur f !=V^t *A *V

da ähnliche Matrizen die selbe Spur haben muss Matrix A ähnlich zu Matrix V^t*A*V
also müsste V^t= V^-1 sein, also die Matrix eine orthogonale Matrix sein. Die Matrix ist orthogonal, weil die Spalten der Matrix die Vektoren der orthonormalBasis sind.

kann man das so begründen? oder fehlt noch was bei dem beweis?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
da ähnliche Matrizen die selbe Spur haben muss Matrix A ähnlich zu Matrix V^t*A*V


Da drehst Du was um. Weil die Matrix ähnlich zu ist haben beide Matrizen die gleiche Spur.

Zitat:
Die Matrix ist orthogonal, weil die Spalten der Matrix die Vektoren der orthonormalBasis sind.


Richtig.

Zitat:
kann man das so begründen? oder fehlt noch was bei dem beweis?


Die eigentliche Aussage hast Du noch nicht gezeigt. Allerdings zeigt man schnell das



gilt.
LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »

also begründen würde ich das so:
definitionsgemäß ist Spur A =
bzgl der Basis mit Einheitsvektoren.
bezüglich der Orthonormalbasis mit Vektoren v1,...vn gilt dann:
Spur A =
und Spur A
LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »

nee, falsch, da dreh ich mich im kreis.

also bi jetzt hab ich:
Spur f= Spur A = Spur (V^-1AV)=Sp(V^tAV)
und Summe <vk,f(vk)>=Summe <vk,Avk>= Summe vk^t*A*vk

allerdings komm ich von Sp(V^t*A*V) nicht auf vk^t*A*V
also ich habs nachgerechnet und es stimmt, aber ich weiß nicht wie ich es formakl begründen kann.
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst hier wirklich nur das Matrixprodukt geeignet aufschreiben. Ich hoffe Dir ist klar das es reicht, wenn man zeigt das



ist. Wir bezeichnen dazu mit die i-te Spalte von A. Dann ist offensichtlich



Und wenn Du jetzt

betrachtest, dann multiplizierst Du die i-te Zeile von mit der i-ten Spalte von , du musst Dir nur noch klar darüber werden, wie die i-te Zeile von aussieht.
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