Komplanarität

07.09.2009, 18:25	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplanarität Hallo, Möchte man überprüfen, ob Vektoren komplanar sind, untersucht man, ob es reelle Zahlen $\begin{eqnarray} {\lambda}_1, {\lambda}_2,... \end{eqnarray}$ gibt, sodass: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~{\lambda}_k\cdot \vec{a_k}= \vec{0} \end{eqnarray}$ wobei nicht alle Koeffizienten Null sein dürfen. Warum heißt die Bedingung nicht, dass kein Koeffizient den Wert Null annehmen darf? Denn wenn der Koeffizienz eines bestimmten Vektors Null ist (und alle anderen nicht) dann heißt das doch, dass zwar alle anderen Vektoren komplanar sind, der besagte Vekor es jedoch nicht ist. Also: Wenn auch nur ein einziges $\begin{eqnarray} \lambda_i= 0 \end{eqnarray}$ dann sind die Vektoren in ihrer Gesamtheit nicht komplanar. Wo habe ich falsch gedacht?
08.09.2009, 01:42	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stelle deine Definition mal richtig: Möchte man überprüfen, ob Vektoren linear abhängig sind, untersucht man, ob es reelle Zahlen $\begin{eqnarray} {\lambda}_1, {\lambda}_2,... \end{eqnarray}$ gibt, sodass: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~{\lambda}_k\cdot \vec{a_k}= \vec{0} \end{eqnarray}$ wobei nicht alle Koeffizienten Null sein dürfen. Für Komplanarität taugt diese Definition nur bei 3 (dreidimensionalen) Vektoren. 4 solcher Vektoren sind nämlich immer linear abhängig, können sich aber auf zwei Ebenen verteilen. Hilfreicher ist die maximale Zahl der linear unabhängigen Vektoren, also der Rang der Koeffizienten-Matrix. Wenn der 2 ist, liegen alle Vektoren in einer Ebene. Du erkennst das, wenn bei der Gauß-Umformung der 3xn-Matrix eine Nullzeile entsteht. Bei Rang 1 (zwei Nullzeilen) wären sie zusätzlich noch kollinear.

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