Lanczos-Verfahren

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Elena87 Auf diesen Beitrag antworten »
Lanczos-Verfahren
Hallo,
ich versuche gerade die Grundidee des Lanczos-Verfahrens zur Bestimmung der EW einer Matrix herauszufinden, komme dabei aber nicht wirklich weiter. Ich finde zum einen keine guten Quelle, und dort, wo es beschrieben ist verliere ich mich beim Durchlesen in den Formeln, sodass ich es danach trotzdem nicht kompakt zusammenfassen könnte.
Kann mir vielleicht jemand helfen? Kann man denn mit dem Lanczos-Verfahren ALLE Eigenwerte oder nur zufällig die herausfinden, die man nicht überspringt? Was ist der Vorteil an diesem Verfahren? Und wie die grobe Vorgehensweise?
Viele Grüße,
Elena
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lanczos-Verfahren
Numerik II, Stoer
Elena87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lanczos-Verfahren
Hi tigerbine,
offenbar bin ich zu dumm anhand des beschriebenen Verfahrens zu erkennen, was das nun konkret mit Eigenwerten zu tun hat. Oder muss man danach erst noch die Eiegnwerte der erhaltenen Tridiagonalmatrix ausrechnen (was ja wesentlich einfacher ist als bei voll besetzten Matrizen) und erhält somit eine Näherung?

In unserem Skript sind wir von den Rayleigh-Quotienten ausgegangen um das Lanczos-Verfahren zu motivieren und unser Prof meinte, man müsse sich bei der Erweiterung des Teilraums immer in die Richtung des steilsten Anstiegs von F(x)=(Ax,x)/||x||^2 bewegen, was auf die Krylovräume führt. Ich verstehe nicht, warum wir das tun müssen. Dies würde uns doch immer zum größten Eigenwert führen, falls m=n. Ist es beim Lanczos-Verfahren denn so gedacht, dass man den Raum erweitert, bis die Kette A^i*q irgendwann stagniert und ich dann den größten Eigenwert von der erhaltenen Tridiagonalmatrix berechne? Dient also das Lanczos-Verfahren im Grunde nur dazu eine geeignete unitäre Matrix zu finden, sodass ich ich Tridiagonalmatrix bekomme, deren EW es dann noch zu berechnen gilt? Und wie kann ich daraus meine Eigenvektoren erkennen?
Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!
Grüße, E.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lanczos-Verfahren
Ich kenne nur Lanczos für symmetrische Matrizen. Man konstruiert eine Folge von tridiagonalen Matrizen, und spätenstens die n-te ist zur Ausgansmatrix A orthogonal ähnlich. Damit hat man das Problem EW einer beliebigen Matrix auf EW einer Tridiagonalmatrix reduziert.
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