Integration über Dreieck

08.09.2009, 13:50

oeNkraD

Integration über Dreieck

Hallo, ich hab folgendes Problem und stehe ein wenig auf dem Schlauch:

Aufgabenstellung: Gegeben sei die Funktion f: |R^2 -> |R, (x,y) -> x^2-2xy

Integrieren Sie f über das Dreieck mit den Eckpunkten (1,1), (2,1), (2,2).

Korrektes Ergebniss ist -5/6

wenn ich nun meine Integrale aufstelle kann ich ja entweder dx oder dy als inneres Integral wählen, entsprechend der wahl ändert sich nur der Rechenaufwand ein wenig.

Hab nun also dy als inneres Integral genommen:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}\int_{1}^{g(y)=y}~x^{2}-2xy~dxdy \end{eqnarray*}$

g(y)=y weil die 3 3Ecks Punkte auf der einen Seite diese Funktion ergeben...

Integrale auflösen etc. erhalte ich -8/6.

wenn ich nun aber $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}\int_{1}^{g(x)=x}~x^{2}-2xy~dydx \end{eqnarray*}$ nehme,

auch hier die Integrale auflöse... erhalte ich -5/6 - was das korrekte Ergebniss ist.

Kann mir wer auf die Sprünge helfen, warum ich nicht das gleiche Ergebniss erhalte? Was mach ich verkehrt, hab ich vielleicht nur an die 200000 mal falsch integriert?

08.09.2009, 14:03

klarsoweit

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RE: Integration über Dreieck

Zitat:

Original von oeNkraD
Hab nun also dy als inneres Integral genommen:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}\int_{1}^{g(y)=y}~x^{2}-2xy~dxdy \end{eqnarray*}$

g(y)=y weil die 3 3Ecks Punkte auf der einen Seite diese Funktion ergeben...

Du mußt aber aufpassen, daß du das richtige Dreieck erwischt. Bei obigem Integral integrierst du über das Dreieck (1; 1), (1;2 ), (2; 2). smile

08.09.2009, 14:45

oeNkraD

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Achso, also ist es hier gar nicht so egal wie ich dachte, welches integral ich nach innen nehme. - in der Form wie ich es geschrieben hab gehts nur mit dydx, da sonst das 3-Eck ja oberhalb der Fkt. liegt und vom Integrieren her nicht richtig behandelt wird. Stimmt das?

Dann wäre wieder ein Schritt zur bestandenen MatheII/III Prüfung getan Big Laugh

08.09.2009, 15:34

klarsoweit

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RE: Integration über Dreieck
Es geht auch mit "dxdy" wenn du die Grenzen richtig wählst:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}\int_{y}^{2}~x^{2}-2xy~dxdy \end{eqnarray*}$

Du mußt eben schauen, in welchem Intervall das x zu vorgegebenem y liegen muß.

09.09.2009, 12:38

oeNkraD

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Ok, wunderbar, jetz hab ich's verstanden.

nächste Problematik: der zu integrierende Bereich wechselt vom negativen in den Positiven Bereich. Explizit:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{x}~f(x,y)~dydx \end{eqnarray*}$
bzw. andersrum, weil ich's verstanden hab:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \int_{y}^{1}~f(x,y)~dxdy \end{eqnarray*}$

muss ich jetz ja nach meinen schulischen Vorkenntnissen bei Vorzeichenwechsel das integral unterbrechen und in 2 aufteilen und diese aufaddieren - oder ist das hier vollkommen egal?

und wenn doch: wie teile ich den murks am besten auf?

nach schulischem Grundwissen, oder kann man einfach sagen ich mach ein integral über
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \int_{-1}^{x}~f(x,y)~dydx \end{eqnarray*}$
addiere dazu
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{-1}^{x}~f(x,y)~dydx \end{eqnarray*}$
und weils so schön ist noch das hier dazu
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{-1}^{0}~f(x,y)~dydx \end{eqnarray*}$

(was ja irgendwo das schulische Grundwissen wiederspiegelt.)

gibt's da schnellere verfahren?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

09.09.2009, 14:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von oeNkraD
muss ich jetz ja nach meinen schulischen Vorkenntnissen bei Vorzeichenwechsel das integral unterbrechen und in 2 aufteilen und diese aufaddieren - oder ist das hier vollkommen egal?

Um welchen Vorzeichenwechsel von was geht es denn? Vorzeichenwechsel in den Integrationsgrenzen? Oder eher doch Vorzeichenwechsel in der Funktion? Und was war da die Motivation für die Aufspaltung des Integrals?

09.09.2009, 22:10

oeNkraD

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Achso: es handelt sich um eine andere Aufgabe, dort läuft das integral über die Achsen des Koordinatensystems - ich dachte, wenn ich das auf einmal integriere gibts doch nen falsches ergebniss, da das was unter der Achse liegt nicht richtig verwertet wird, und da in diesem fall sowohl die x-Achse, als auch die y-Achse von den begrenzenden Funktionen geschnitten werden dachte ich dass ich das Integral entsprechend aufsplitten muss. (oder bin ich da in den falschen Dampfer gestiegen?)

die Aufgabe lautet übrigens:

Integrieren Sie die Funktion f : |R^2 ->|R, (x,y) ->x^2+3xy über dem Bereich, der von den Geraden
x = 1, y = −1 und y = x begrenzt wird.

(hätte ich ja auch gleich vorneweg sagen können unglücklich

)

09.09.2009, 22:12

oeNkraD

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Integrieren Sie die Funktion f : |R^2 ->|R, (x,y) ->x^2+3xy über dem Bereich, der von den Geraden
x = 1, y =-1 und y = x begrenzt wird.

sollte es heißen...

10.09.2009, 08:34

klarsoweit

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Ah ja, jetzt. Dann ist dies ok:

Zitat:

Original von oeNkraD
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{x}~f(x,y)~dydx \end{eqnarray*}$
bzw. andersrum, weil ich's verstanden hab:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \int_{y}^{1}~f(x,y)~dxdy \end{eqnarray*}$

Allerdings brauchst du da nichts aufspalten oder sonst was machen.

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