Ungleichung zw Normen

23.09.2006, 18:10	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zw Normen Hallo! Könnte nochmal eure Hilfe gebrauchen und zwar würde ich gerne zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} A \in R^n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2 \leq \sqrt{\|\|A\|\|_1 \|\|A\|\|_{\infty} } \end{eqnarray}$ ich hab so angefangen: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2 = (\rho(A^TA))^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \|\|A\|^2_2 = \rho(A^TA) \leq \|\|A^TA\|\|_2 \end{eqnarray}$ da ja für induzierte Normen gilt: $\begin{eqnarray} \rho(A) \leq \|\|A\|\| \end{eqnarray}$ aber ich seh nicht, wie man von da auf Ungleichung mit der 1- bzw Unendlichkeitsnorm kommt?? bei den andren teilaufgaben hab ich schon bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_1=\|\|A^T\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ und für symm A: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2\leq \|\|A\|\|_1 \end{eqnarray}$ vielleicht hilft das ja weiter, ich seh nur nicht wo... help
23.09.2006, 19:08	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
hab noch ne frage dazu. und zwar gilt ja dieser satz: Der Spektralradius ist das Infimum aller induzierten Matrixnormen, d.h. $\begin{eqnarray} \rho(A) \leq \|\|A\|\| \end{eqnarray}$ .(wie oben schon geschrieben). Was heißt das genau, für welche induzierte Norm gilt das? bei der aufgabe hab ich ja $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2^2 = \rho(A^TA) \leq\|\|A^TA\|\| \end{eqnarray}$ Gilt das dann nur für die 2 Norm, weil ich ja vorne mit der angefangen hab? also so_: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2^2 = \rho(A^TA) \leq\|\|A^TA\|\|_2 \end{eqnarray}$ oder gilt das auch für die 1-Norm: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2^2 = \rho(A^TA) \leq\|\|A^TA\|\|_1 \end{eqnarray}$ ...weil damit würd ich zum Ziel kommen... viele grüße
28.09.2006, 18:48	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kingskid, Ja der Spektralradius ist kleiner als jede MAtrixnorm also auch für die der 1-Norm zugeordnete. viele Grüße mathemaduenn

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