Rechenregeln für komplentäre Matrizen

08.09.2009, 17:18	NurEinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenregeln für komplentäre Matrizen Hey Leute, Gilt eigentlich für Matrizen $\begin{eqnarray} A\in\mathbb{R}^{n\times m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B\in\mathbb{R}^{n\times k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R(A)\subseteq R(B) \Leftrightarrow N(B^T)\subseteq N(A^T) \end{eqnarray}$ ? Mit $\begin{eqnarray} R(.) \end{eqnarray}$ ist der Spaltenraum einer Matrix und mit $\begin{eqnarray} N(.) \end{eqnarray}$ der Kern der Matrix gemeint. Ich weiß bisher aus der Vorlesung $\begin{eqnarray} R(A)^\perp = N(A^T) \end{eqnarray}$ und dass für einen Unterraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} U^{\perp\perp} = U \end{eqnarray}$ gilt. Eigentlich muss ich ja nur noch zeigen, dass für Unterräume $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ folgende Äquivalenz gilt $\begin{eqnarray} W\subseteq U \Leftrightarrow U^\perp \subseteq W^\perp \end{eqnarray}$ gilt. Sei $\begin{eqnarray} x\in U^\perp \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x^T y =0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y\in U \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} W\subseteq U \end{eqnarray}$ gilt also speziell $\begin{eqnarray} x^T y =0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y\in W \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} x\in W^\perp \end{eqnarray}$ . Nochmalige Anwendung der bewiesenen Implikation liefert $\begin{eqnarray} U^\perp \subseteq W^\perp \Rightarrow W^{\perp\perp}\subseteq U^{\perp\perp} \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} U^{\perp\perp} = U \end{eqnarray}$ folgt die Behauptung. Ist die Argumentation richtig?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »