Lin. Abbildung und Supremumsnorm

09.09.2009, 09:08

kavin009

Lin. Abbildung und Supremumsnorm

So meine zweite Frage kommt jetzt, erstmal die Aufgabe:
V sei ein Raum der stetigen Funktionen auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ mit der Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} ||.||_\infty \end{eqnarray*}$ .
Die lineare Abbildung K sei gegeben durch $\begin{eqnarray*} K(f)(t)=\int_{0}^{1}~(s-t)f(s)~ds \end{eqnarray*}$ .
1.
Beweisen sie, dass die Norm von K gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist
2.
Verwenden sie die Neumannsche Reihe, um folgende Integralgleichung zu lösen:
$\begin{eqnarray*} f(t)-\int_{0}^{1}~(s-t)f(s)~ds = 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze:
Zu 1.:
$\begin{eqnarray*} ||K(f)||_{\infty} = sup_{f(t)\in [0,1]}|\int_{0}^{1}~(s-t)f(s)~ds| \end{eqnarray*}$
(Notiz: $\begin{eqnarray*} |f(s)|\leq 1 \end{eqnarray*}$ Wieso kann man das eigentlich so einfach sagen?)
$\begin{eqnarray*} \leq sup(\int_{1}^{0}~(s-t)~ds) \end{eqnarray*}$
Nur wie gehts es weiter?

Zu 2.:
$\begin{eqnarray*} f(t)-\int_{0}^{1}~(s-t)f(s)~ds = 1 \Rightarrow (I-K)f=1 \Rightarrow f=(I-K)^{-1}(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f=\sum_{n=0}^\infty~K^{n}(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K^0(1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K^1=1/2 - t \end{eqnarray*}$ Wieso?

10.09.2009, 11:36

Leopold

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Es sei $\begin{eqnarray*} V = C[0,1] \end{eqnarray*}$ der Raum der auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetigen Funktionen, versehen mit der Maximumnorm $\begin{eqnarray*} \| . \| \end{eqnarray*}$ .
Unter der Norm $\begin{eqnarray*} \| K \| \end{eqnarray*}$ des linearen Operators $\begin{eqnarray*} K: \ V \to V \end{eqnarray*}$ versteht man die kleinste Lipschitz-Konstante von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \| K \| = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ mußt du also zwei Dinge zeigen:

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ \| K(f) \| \leq \frac{1}{2} \, \| f \| \ \ \mbox{für alle} \ f \in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ \mbox{Es gibt ein} \ f_0 \in V, \, f_0 \neq 0 \ \mbox{mit} \ \ \| K(f_0) \| = \frac{1}{2} \, \| f_0 \| \end{eqnarray*}$

Nimm bei $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ die "einfachste" Funktion $\begin{eqnarray*} f_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , die man sich denken kann, und berechne konkret die Normen links und rechts, um die Gleichheit zu zeigen.

Beginne bei $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ mit der Abschätzung von $\begin{eqnarray*} | K(f)(t) | \end{eqnarray*}$ , ganz standardmäßig: Dreiecksungleichung für Integrale, $\begin{eqnarray*} | f(t) | \leq \| f \| \end{eqnarray*}$ und so weiter. Am Schluß verbleibt noch die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \varphi(t) = \int_0^1 | s-t |~\dd s \end{eqnarray*}$ . Diese Berechnung ist elementar, und der Nachweis von $\begin{eqnarray*} \varphi(t) \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ vollendet den Beweis.

10.09.2009, 17:10

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von kavin009
$\begin{eqnarray*} K^1=1/2 - t \end{eqnarray*}$ Wieso?

Es ist doch einfach $\begin{eqnarray*} K^1(1)(t)=\int_0^1~(s-t)\cdot 1~\mathrm ds \end{eqnarray*}$ .

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