stationäre punkte der funktion f

09.09.2009, 12:21

Mngr

stationäre punkte der funktion f

hier die funktion:

f(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{(1/2)(x²)}~(t-2)e^{-t²}~dt \end{eqnarray*}$

also ich habe einen weg,weiß jedoch nicht ob der so stimmt.
ich nehme die obere grenze,in dem fall $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{2} \end{eqnarray*}$ ,das ist auch mien g(x) und setze sie für meine --> t ein.

f(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{(1/2)(x²)}~(x²/2-2)e^{-(x²/2)²}~dt \end{eqnarray*}$
das multipliziere ich mit der ableitung von g(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{2} \end{eqnarray*}$ --> g'(x) = x

damit wären die stationären punkte leicht herauszufinden:
1.nullstelle wäre x = 0 wegen g'(x)
2. + 3. nullstelle treten in der klammer auf $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{2} - 2 \end{eqnarray*}$ undzwar x=2 und x = -2

man soll die funktionswerte nicht ausrechnen,nur die stationären punkte bestimmen.das wären ja dann einfach 0,-2 und 2 oder fehlt bei mri etwas.
ein prüfender blick wäre jetzt hilfreich smile

09.09.2009, 12:54

Leopold

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Was sind denn "stationäre" Punkte? verwirrt

Solche mit Ableitung 0?

Und niemals in die Integrationsvariable einsetzen. Das ist eine gebundene Variable. Sie ist nicht konkreter Werte fähig.

09.09.2009, 13:14

Mngr

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stationäre punkte sind die nullstellen eigentlich.

ich hab mir ne formel aufgeschireben die lautet:
f(x) = f(g(x))*g'(x)

und mien g(x) ist die obere grenze...so soll man die stationären punkte ermitteln,also die nullstellen.
die funktionswerte sind irrelevant.

09.09.2009, 13:21

Leopold

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Du zitierst die Kettenregel, allerdings falsch. Richtig geht das so:

$\begin{eqnarray*} \left( h\circ g \right)'(x) = h' \left( g(x) \right) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Und in deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} h(u) = \int_{-1}^u (t-2) \operatorname{e}^{-t^2}~\dd t \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hast du richtig:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{2} \, x^2 \end{eqnarray*}$

Zur Berechnung der Ableitung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ beachte den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Übrigens: Deine Werte -2,0,2 stimmen. Allerdings ist dein Weg zu den Lösungen nicht nachvollziehbar und unterwegs auch richtig falsch.

09.09.2009, 14:58

Mngr

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also doch g(x) in die variable t einsetzen?

wenn ich mein g(x) eingesetzt habe,muss ich die funktion ableiten.welches dann mit der produktregel gemacht werden muss.
und setze dann die funktion gleich 0.

so hast du es doch berechnet oder? mein g'(x) liefert mir ja direkt die 0 als nullstelle.

09.09.2009, 16:59

Leopold

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Zitat:

Original von Mngr
also doch g(x) in die variable t einsetzen?

Nein, sondern $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ in die Variable $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ einsetzen. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist die Integrationsvariable. In sie darf nie und nimmer etwas eingesetzen werden. Was soll denn herauskommen, wenn du in $\begin{eqnarray*} \int_1^4 t^3~\dd t \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t=19 \end{eqnarray*}$ einsetzt? Etwa (ich traue mich gar nicht, das zu schreiben) $\begin{eqnarray*} \int_1^4 19^3~\dd 19 \end{eqnarray*}$ ?
Das wäre doch Unsinn.

Du solltest klar zwischen den drei Funktionen unterscheiden:

1. der inneren Funktion der Verkettung: $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{2} \, x^2 \end{eqnarray*}$
(die Funktionsvariable ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ )

2. der äußeren Funktion der Verkettung: $\begin{eqnarray*} h(u) = \int_{-1}^u (t-1) \operatorname{e}^{-t^2}~\dd t \end{eqnarray*}$
(die Funktionsvariable ist $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ )

3. der Verkettung selbst: $\begin{eqnarray*} f(x) = (h \circ g)(x) = \int_{-1}^{\frac{1}{2} \, x^2} (t-1) \operatorname{e}^{-t^2}~\dd t \end{eqnarray*}$
(die Funktionsvariable ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ )

Und fürs Ableiten einer Verkettung brauchst du nun einmal die Kettenregel. Die Ableitung der äußeren Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ liefert dir der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

10.09.2009, 12:41

Mngr

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alles klar.

d.h. innnere * äußere funktion.

g'(x) = $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

h'(x)= $\begin{eqnarray*} -2t(t-1) e^{-t²} \end{eqnarray*}$

so und jetzt h'(x) * g'(x) und das wars oder nicht?
die ableitung dann gleich null setzen und ich kriege miene stationären punkte...oder fehlt da noch was?

10.09.2009, 13:30

Leopold

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$\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ stimmt nicht. Zunächst einmal kann die Variable links nicht anders als rechts heißen. Wenn du meine Bezeichnungen aus dem vorigen Beitrag übernimmst, muß es beides Mal $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ heißen. Dann hast du auch den HDI nicht korrekt angewandt. Schließlich hast du auch die Kettenregel fehlerhaft verwendet: die innere Funktion muß in die Ableitung der äußeren Funktion eingesetzt werden.

10.09.2009, 14:38

Mngr

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wie ist die ableitung denn von $\begin{eqnarray*} h(u) = (u-1)e^{-u²} \end{eqnarray*}$
ich weiß es nicht.
vor allem dieses $\begin{eqnarray*} e^{-u²} \end{eqnarray*}$ .wie leite ich denn das ab?ist das nicht $\begin{eqnarray*} -2ue^{-u²} \end{eqnarray*}$

also in meine u's dann mein g'(x) einsetzen?schließlich mit g'(x) multiplizieren?

ich bräuchte die bestätigung oder korrektur meine e-funktion ableitung den rest denke ich krieg ich hin.

10.09.2009, 14:56

Leopold

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Dein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ stimmt doch schon gar nicht. Du kannst die Integration nicht einfach unterschlagen. So sieht $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} h(u) = \int_{-1}^u (t-1) \operatorname{e}^{-t^2}~\dd t \end{eqnarray*}$

Und für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ muß man so gut wie nichts tun. Nur den HDI anwenden (siehe hier). Was im Link $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ heißt, heißt bei uns $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Dem $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ entspricht bei uns $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt noch erkennst, was dem $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ entspricht, kannst du $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ gemäß dem HDI unmittelbar angeben. Da ist nichts zu rechnen.

10.09.2009, 15:24

Mngr

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hmm mien $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ ist dann einfach das integral. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist einfach das integral weg also sozusagen mien F'(x) und mien g(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

insgesamt sieht es dann so aus:

F'(x)= $\begin{eqnarray*} ( \frac{x²}{2} - 2)e^{\frac{-x²}{2} }*x \end{eqnarray*}$

10.09.2009, 15:30

Mngr

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noch etwas:
hier krieg ich ja meine nullstellen sofort raus,die sind ja oben angegeben.

aber wie wäre denn die ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\frac{-x²}{2} } \end{eqnarray*}$

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