Kompaktheit

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TheMathKing Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit
Hallo,

folgender Satz macht mich etwas stutzig:

Jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ist beschränkt, abgeschlossen und vollständig.

Würdet ihr das so unterschreiben?

Ich frage mich, wie das mit endlichen Teilmengen von zb. vereinbar ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

1. Eine endliche Menge ist beschränkt.
2. Eine endliche Menge ist abgeschlossen.
3. Eine endliche Menge ist vollständig.

Das paßt doch.
TheMathKing Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke,

Wie ist die Vollständigkeit einer endlichen Menge hier zu verstehen.

Welche Definition verwendest du hier?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
#T Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will von der Vollständigkeit einer endlichen Menge aus sprechen.

Nehmen wir mal

Ist dann für die Cauchyfolgendefinition zu überprüfen?

Hier drin sind nur konstante Folgen Cauchyfolgen und diese haben den Grenzwert oder . Dieser Grenzwert wird in angenommen, also ist vollständig.

So?

Kann ich auch die Definition über das Supremum gehen, um die Vollständigkeit zu zeigen?
TheMathKing Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. nicht nur die konstante Folgen, aber die, die irgendwann konstant werden.

Gruß
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist's.
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