Ableitung mit Wurzel

07.06.2004, 13:27	Rosenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung mit Wurzel Hallo ihr fröhlichen Mathematiker Ich stehe gerade bei der ersten Ableitung einer Funktion an. Leider ist mein Mathe seit einigen jahren schon ziemlich eingerostet - und ich finde einfach keine mathematisch genaue Lösung auf dieses Problem. f(a) = 4sqr(25+a^2)+10-2a Bei welchem a ist f(a) am kleinsten/minimal, wenn a zwischen 0 und 10 sein darf? Ich habe gehört, dass es über die erste Ableitung gehen soll, wie ich diese allerdings herausfinde, weiß ich nicht... Könnt ihr mir vielleicht helfen? Danke schon mal im vorhinein, Liebe Grüße aus Wien, Rosenstein
07.06.2004, 14:00	Roland	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn mich meine Erinnerung nicht täuscht (Grundstudium ist auch schon wieder das eine oder andere Jährchen her ;-), dann leitet man das folgendermaßen ab: $\begin{align} f(a) = 4 \sqrt{25+a^2} + 10 - 2^a \end{align}$ $\begin{align} f'(a) = 4 * \frac{1}{2} * (25+a^2)^{- \frac{1}{2}} * 2a - 2^a * ln(2) \end{align}$ $\begin{align} = -4a * \sqrt{25+a^2} - 2^a * ln(2) \end{align*}$ Bei der Ableitung muß man die Kettenregel anwenden. Außerdem ist sqrt(x) == x^1/2, wird also normal abgeleitet. Damit ist die Ableitung immer < 0 und f(a) streng monoton fallend in a aus [0, 10]. f(a) müßte dann also bei a=10 den kleinsten Wert annehmen. Korrigiert mich wenn ich falsch liege ;-) :rolleyes:
07.06.2004, 14:01	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
@Roland: Du hast die Funktion leider falsch gelesen. Ganz so kompliziert ist sie nicht @Rosenstein: Hast du vielleicht noch ein schlaues Buch, das dich über die Ableitungsregeln informieren kann? Du brauchst die Ableitungsregeln und die Ableitungen von Potenzen und Wurzeln: (c)' = 0, wenn c eine Konstante ist und du nach a ableitest. (a)' = 1, (a^2)' = 2a, $\begin{align} (\sqrt{a})' = \frac{1}{2\sqrt{a}} \end{align}$ . Die setzt du mit der Summenregel $\begin{align} (f(a)+g(a))' = f'(a)+g'(a) \end{align}$ , der Konstantenregel $\begin{align} (c\cdot f(a))' = c\cdot f'(a) \end{align}$ , und der Kettenregel $\begin{align} (f(g(a)))' = f'(g(a))\cdot g'(a) \end{align}$ zusammen. Deine Funktion ist eine Summe von drei Summanden, die Ableitung ist also die Summe der drei einzelnen Ableitungen: $\begin{align} f'(a) = (4\sqrt{25+a^2})'+(10)'+(-2a)' \end{align}$ . Auf die einzelnen Summanden wendest du nun die Konstantenregel an: $\begin{align} f'(a)=4\cdot(\sqrt{25+a^2})' + 0 + -2\cdot(a)' \end{align}$ . Nun musst du im ersten Summanten die Kettenregel und im dritten Summanden die Ableitungformel (a)' = 1 anwenden: $\begin{align} f'(a) = 4\cdot (\frac{1}{2\sqrt{25+a^2}}\cdot (25+a^2)') -2\cdot 1 \end{align}$ . Schau mal, ob du nun die Ableitung zu Ende bringen kannst. :] Gruss, SirJective
07.06.2004, 14:11	Roland	Auf diesen Beitrag antworten »
Grr, jetzt habe ich nur 2a mit 2^a verwechselt und das ganze etwas komplizierter als nötig gemacht... Sorry. (2a)' ist natürlich 2 und (2^a)' ist (2^a)ln(a).
07.06.2004, 14:14	Rosenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Roland: Ja, du hast dich verlesen ... tut mir leid, dass ich den Formeleditor nicht benutzt habe. Hätte mich auch gewundert, wenn diese Funktion streng monoton fallend gewesen wäre ... Die "Außerdem ist sqrt(x) == x^1/2, wird also normal abgeleitet."-Info ist gut - danke für die Bestätiigung SirJective: Ja, ich habe einen Mathealmanach namens Bartsch daheim (bin gerade in der Fima) rumliegen. Auch wenn mich mein alter Mathematiklehrer in der Schule immer gerügt hat, dass die Seitenränder noch blitzeweiß waren, sind sie jetzt von der Benutztung schon ganz dreckig ... er wäre stolz auf mich Aber mit deiner netten Hilfestellung schaffe ich das sicher ... ich danke dir herzlichst LG, Rosenstein

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