Tensor und Tensorprudukt

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karl123 Auf diesen Beitrag antworten »
Tensor und Tensorprudukt
Hallo Leute,

Zitat:
Für Vektorräume und . Das Tensorprodukt von und besteht aus einem Vektorraum und einer bilinearen Abbildung derart, daß für jede bilineare Abbildung für einen beliebigen Vektorraum genau eine lineare Abbildung existiert, so daß gilt . (Kann man sich gut über eine Dreiecksdiagramm veranschaulichen) Ein Tensor ist ein Element aus dem Vektorraum . Es gilt


Ich bin auf meiner suche über Tensoren auf diese Definition gestolpert, die ich in eurem Board gefunden ahbe. (Man findet dazu echt wenig im Internet).

Ich habe aber einige Fragen dazu.

1.) Wovon ist U ein Unterraum?
2.) Ich versteh die definition nicht wirklich. Also was ist der sinn dieser Defintion?
bzw. Was ist ein Tensorprodukt anschaulich?

schonmal vielen Dank
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage, was das Tensorprodukt anschaulich bedeutet, ist natürlich schwer zu beantworten, wenn du gerade die Definition aus der universellen Algebra aussuchst, die am weitesten vom Konkreten abstrahiert und nur auf die strukturellen Eigenschaften abzielt.

Um ein konkretes Beispiel zu geben, betrachte die Standard-Vektorräume mit der kanonischen Basis und mit der kanonischen Basis .

Dann kannst du den Raum der reellen 2×3-Matrizen als Tensorprodukt auffassen: . Die Tensorabbildung geht ganz natürlich:



Mit den Matrizen , die an der Position eine 1 und sonst Nullen haben, kann man das auch so schreiben:



Letztlich ist alles durch und bilineare Fortsetzung bestimmt.

Wenn du nun eine bilineare Abbildung von in einen beliebigen (!) reellen Vektorraum vorgibst, dann ist diese wegen der Bilinearität vollständig bekannt, wenn man die Bilder kennt:



Wie muß nun die lineare Abbildung aussehen, von der in der Definition die Rede ist?
Denk ganz gerade. Es ist (beinahe) banal.
karl123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle antwort:

das f wäre ja dann:
wir haben als 2×3-Matrix aus

wäre dann die Zeilen der matrix

dann hätte ich f ja als

linear ist leicht

und für und



Du hast geschreiben "...auf die strukturellen Eigenschaften abzielt".

Was sind genau die strukturellen Eigenschaften eines Tensorsprodukts?
Ok, das was in der Definition steht.
Aber was motiviert diese Definition?

und wenn ich jetzt mal nehme.
Was wären dann g,f ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dein stimmt. Ich hätte allerdings durch und lineare Fortsetzung definiert. Das liefert dasselbe und scheint mir einfacher.

Und wenn du spezialisierst, ändert sich doch nichts. Die sind halt in diesem Fall reelle Zahlen. Wenn du fragst, was ist, irritiert mich das etwas, denn ist ja beliebig vorgebbar, zum Beispiel (!!!)



ist hier also eine Bilinearform. Und zu dieser Bilinearform mußt du jetzt ein lineares angeben mit , das heißt . Nach meiner Eingangsbemerkung ist das diejenige lineare Abbildung mit





Oder ganz ausführlich



Jetzt gilt in der Tat . Letztlich muß man ja nur ersetzen. Und das ist wohl der Sinn des ganzen Tensorproduktes, die Variablenprodukte als neue "kompakte" Objekte aufzufassen.
karl123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt gilt in der Tat . Letztlich muß man ja nur ersetzen. Und das ist wohl der Sinn des ganzen Tensorproduktes, die Variablenprodukte als neue "kompakte" Objekte aufzufassen.


Das hab ich nicht genau verstanden.

Also wäre dann meine funktion die quasi die "Matrixmultiplikation" verallgemienert bzw. das produkt von 2 Vektoren.

der Raum wären dann die Elemnte die da rauskommen.
also die Tensoren.

nur wie spielen die funktion g und f da mit.

es ist jetzt ja dann so das bilineare abbildungen auf linearen abbildungen auf entsprechen. bzw nur dann liegt ein tensorprodukt vor.
aber was hat das zu bedeuten?

Also die Motivation der Definition bleibt mir imemr noch verschlossen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Daß man den Buchstaben verwendet, hat wohl nur den Sinn, für die Abbildung selbst nicht schreiben zu müssen. Aber eigentlich könnte man das. Dann hieße es statt halt . Und für würde man die Infix-Notation vereinbaren.

Im Beispiel ist . Es werden zwei Vektoren und miteinander multipliziert, und das Ergebnis ist eine Matrix.

Der Sinn des Tensorproduktes ist es in der Tat, bilineare Abbildungen zu linearisieren, eben durch Vorschalten der fixen bilinearen Abbildung .
 
 
karl123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank
Es ist mir jetzt alles schon viel klarer geworden

du hast gesagt meine Definition wäre aus der universellen Algebra.

Kennst du noch andere?
oder vieleicht ein Buch in dem die stehen?

und definiert man Tensor auch immer über das Tensorprodukt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht suchst du fürs erste bei Wikipedia. Stichworte: universelle Algebra, Kategorien, Grothendieck.

Was ein Tensor ist, ist vermutlich genau so schwierig zu beantworten, wie was ein Vektor ist. Den Physikern geht es dabei wohl eher ums Rechnen, den Mathematikern um das abstrakte Konzept dahinter. Daß beide vom selben reden, ist dann auch nicht immer unmittelbar zu sehen.
karl123 Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt ja den begriff der Tensorproduktflächen
ich weiß nicht ib du den kennst

also eine kruve kann man ja darstellen mit:
Kontrollpunkten und Basisfunktionen
zb. eine polynomielle Kurve durch die Monomenbasis
vom Grad n

wobei die Kontrollpunkten aus dem entsprechnden Raum und aus irgeneinem Paramenterinterval ist

wenn ich aber die Kontrollpunkte selber wieder aus als Kurve wähle
erhalte ich eine Tensorproduktfläche.

das Spiel kann man ja beliebig weiter treiben.

Hat das irgenwas mit dem Tensorprodukt zu tun? Wenn ja was?

übrigens Danke für die tollen Erklärungen
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir mal eine anschauliche Tensor-Definition:

Definition:
Ein Tensor m-ter Stufe der Dimension n ist eine Abbildung, die m Tensoren eines n-dimensionalen Raumes eine (vom Koordinatensystem unabhängige) Zahl zuordnet, wobei diese Abbildung bezüglich jedes einzelnen Argumentes linear sein muss.

Ich nenne zwei Beispiele:

Beispiel 1: Tensor 1.Stufe:
Die mechanische Arbeit entlang irgendeines Weges gegen eine Kraft ist das Skalarprodukt . In diesem Sinne kann man die Kraft als Tensor 1.Stufe auffassen, denn sie ordnet jedem Wegvektor eine Zahl W zu. Der Wegvektor ist quasi die "Variable". Die Abbildung ist offensichtlich linear, denn es gilt

Beispiel 2: Tensor 2.Stufe:
In einer Ebene seinen zwei Vektoren gegeben. Diese spannen ein Parallelogramm auf. Die Abbildung, welche den beiden Vektoren den Flächeninhalt des Parallelogrammes zuordnet, lautet



Die 2x2-Matrix ist der Tensor 2.Stufe. Auch diese Abbildung ist linear, was man unmittelbar durch Einsetzen prüfen kann, wenn man z.B. durch ersetzt.

Beispiel 3: Tensor 3.Stufe:
Drei Vektoren spannen einen Spat auf. Die Abbildungsvorschrift, welche diesen drei Vektoren das entsprechende Spat-Volumen zuordnet, ist ein Tensor 3.Stufe. An die Stelle der 2x2-Matrix aus Beispiel 2 tritt hier eine räumliche 3x3x3-Matrix

Allgemein kann man etwas volkstümlich sagen: Ein Tensor n-ter Stufe ist eine n-dimensionale Matrix . ganz wesentlich ist die oben erwähnte Unabhängigkeit der Abbildungsvorschrift vom gewählten Koordinatensystem. Das führt dazu, dass sich der Tensor und die n "Variablen" kontragredient transformieren. In der Mathematik wird der Begriff "Tensor" oft rein formal über dieses Transformationsverhalten definiert, was aus meiner Sicht didaktisch ungünstig ist.
karl123 Auf diesen Beitrag antworten »

danke
und wie kann man das mit meiner defintion vereinbaren
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte dir gesagt, was ein Tensor ist.

---------------------------
Definition:
Ein Tensor m-ter Stufe der Dimension n ist eine Abbildung, die m Vektoren eines n-dimensionalen Raumes auf eine vom Koordinatensystem unabhängige Zahl abbildet. Diese Abbildung muss bezüglich jedes einzelnen Argumentes linear sein.

(In meinem ersten Beitrag vom 10.09.09 hatte ich fälschlicherweise das Wort "m Vektoren" durch "m Tensoren" ersetzt. Hier ist es richtig.)
---------------------------

Jetzt erkläre ich dir mal den Begriff "Tensorprodukt" anhand eines Beispiels.

In meinem 1.Beispiel vom letzten Beitrag hatte ich geschrieben, dass die Kraft ein Tensor 1.Stufe ist, der jedem "Weg-Vektor" die mechanische Arbeit zuordnet.

Angenommen, wir haben nun zwei verschiedene Kräfte und , dann ist deren Tensorprodukt folgende Matrix



Das Tensorprodukt der beiden Vektoren 1.Stufe ist also eine Tensor 2.Stufe, den man sich aus den jeweils 3 Komponenten der beiden einzelnen Tensoren "zusammenbastelt".

Der Begriff "Tensorprodukt" kommt in der Praxis kaum vor. Es handelt sich um einen reine formale Definition, wie es die Mathematiker lieben. Physikalischen Sinn haben immer nur die konkreten Tensoren.

Als Student kann man die Eigenschaften von Tensoren am besten am "Volumentensor" studieren, der m Vektoren das Volumen desjenigen Spates zuordnet, der von ihnen aufgespannt wird. Dieser "Volumentensor" ist übrigens nicht anderes als die Determinnate dieser m Vektoren.

Hier haben wir wieder ein typisches Beispiel dafür, wie die Mathematiker den anschaulichen Begriff "Spat-Volumen" durch den formalen Begriff "Determinante" erstetzen und dadurch die Sache dadurch verschleiern.
karl123 Auf diesen Beitrag antworten »

danke

ich meinte wie sich deine definition des tensors

Zitat:
Ein Tensor ist ein Element aus dem Vektorraum . Es gilt


in diese definition einfügt

also in meiner definition wird der begriff tensor ja über das tensorprodukt definiert
karl123 Auf diesen Beitrag antworten »

vieleicht sollte ich auch nochmal ganz von vorne anfangen

ich verstehe nicht wie was das f und das g in dieser definition sollen
was sagen die über die strucktur eines tensorprodukts aus

im endlichdimensinoalen finde ich nämmlich zu jedem g immer ein f

außerdem wie macht das bespiel von Ehos in dieser Defintion sinn
bzw. seine Defin eines Tensors

wie vereinbare ich Tensor Nullter und Erster Stufe mit dieser Definition
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von karl123
vieleicht sollte ich auch nochmal ganz von vorne anfangen

ich verstehe nicht wie was das f und das g in dieser definition sollen
was sagen die über die strucktur eines tensorprodukts aus

im endlichdimensinoalen finde ich nämmlich zu jedem g immer ein f

Was das und da sollen und wie die die Struktur des Tensorprodukts festlegen, hast du doch mit Leopold oben schon ziemlich ausführlich geklärt. Man kann nunmal jedem Paar von Vektorräumen einen Vektorraum so zuordnen, dass die bilinearen Abbildungen von in einen beliebigen Vektorraum eineindeutig den linearen Abbildung entsprechen. Das ist, wie Leopold bereits erwähnt hat, eine Definition des Tensorprodukts über eine universelle Eigenschaft.

Damit ist die Existenz eines Tensorprodukts noch nicht geklärt, diese muss man durch explizite Konstruktion nachweisen.

Was du übrigens damit meinst, dass du im endlich-dimensionalen Fall zu jedem immer ein findest, verstehe ich nicht ganz. Was genau findest du? Das Tensorprodukt ist doch gerade so definiert, dass du das immer findest, und zwar egal, ob die Räume endlich- oder unendlich-dimensional sind.
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