Uneigentliches Integral auf Konvergenz prüfen

09.09.2009, 17:48

forstetal

Uneigentliches Integral auf Konvergenz prüfen

Hi.
Habe hier eine Augabe und wollte mal fragen, ob ich das ganze so rechnen kann:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~\frac{1}{\sqrt{x^{3}+x}} ~dx \end{eqnarray*}$

So jetzt dachte ich mir, ich könnte das ganze ja mit dem Minorantenkriterium zeigen.
Also habe ich die Wurzel aus x^3 + x in Betrag gesetzt und einfach gesagt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~\frac{1}{\sqrt{|x^{3}+x|}} ~dx < \int_{0}^{\infty }~\frac{1}{\sqrt{|x^{3}|}} ~dx < \int_{0}^{\infty }~\frac{1}{|x^{3}|} ~dx < \int_{0}^{\infty }~\frac{1}{x^{2}} ~dx \end{eqnarray*}$

Und da letzteres divergiert, divergiert auch das erste laut dem Minorantenkriterium?
Kann man das so sagen?

Danke schon einmal im voraus!

forstetal

09.09.2009, 18:24

Wirr

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Du hast eine Majorante gefunden, welche divergiert. Das hilft dir kein Stück weiter. Formuliere das Minorantenkriterium für uns.

09.09.2009, 19:23

forstetal

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hmm.
woran erkenne ich denn ob ich das Majoranten- oder Minorantenkriterium nutzen muss?

irgendwie komm ich damit nicht so klar.

Ich habe gerade das hier probiert, aber jetzt komme ich nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }~\frac{1}{\sqrt{|x^3+x|}} ~dx \geq \int_{0}^{\infty }~\frac{x}{\sqrt{|x^3+x|}} ~dx \geq \end{eqnarray*}$

09.09.2009, 19:34

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Zitat:

Original von forstetal
woran erkenne ich denn ob ich das Majoranten- oder Minorantenkriterium nutzen muss?

Das sind hinreichende Kriterien, die "muss" man nicht anwenden. Wenn man eine Majorante oder Minorante findet - gut. Wenn nicht, muss man sich ggfs. was anderes überlegen. Das Finden basiert auf geeigneten Abschätzungen zu bekannten Integranden, wie z.B. Potenzfunktionen.

09.09.2009, 19:38

Leopold

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Wird wirklich über $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ integriert? Oder vielleicht doch nur über $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ ? Oder über $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ ?
Dann sind auch in deiner Abschätzung mehrere Fehler.

09.09.2009, 19:46

forstetal

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es war eine alte Klausur.
Und es ist 0 bis unendlich.
Wie/Was mache ich denn jetzt am besten?

09.09.2009, 20:13

Leopold

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Da das Integral an beiden Grenzen (!!) uneigentlich ist, mußt du zwei Integrale auf Konvergenz untersuchen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \ldots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty}~\ldots \end{eqnarray*}$

(Statt das Gesamtintervall $\begin{eqnarray*} I = (0,\infty) \end{eqnarray*}$ mittels 1 zu trennen, kannst du es auch mit jeder anderen positiven Zahl trennen. Rechentechnisch kann das eventuell günstiger sein.)

Wenn nun beide Integrale konvergieren, dann konvergiert auch das Integral über den gesamten Bereich $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ . Wenn auch nur eines der Integrale divergiert, dann divergiert auch das Integral über $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ . Und hier konvergiert eines der Integrale, das andere divergiert ...

09.09.2009, 20:46

O. Becker

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RE: Uneigentliches Integral auf Konvergenz prüfen
Kennst Du die Betafunktion

$\begin{eqnarray*} B(x,y)=\int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\dd t \end{eqnarray*}$ ?

Per Substitution siehst Du, dass Dein Integral gleich $\begin{eqnarray*} \frac{B\left(\frac 14,\frac 14 \right)}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

09.09.2009, 21:09

Leopold

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Womit ich dann auch meine leichtfertige Aussage

Zitat:

Original von Leopold
Und hier konvergiert eines der Integrale, das andere divergiert ...

zurücknehme.

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