Beweise mit Hilfe des Skalarproduktes

09.09.2009, 18:23	Lisa89	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise mit Hilfe des Skalarproduktes Hey, ich hab folgende Aufgabe: Beweisen sie mit Hilfe das Skalarproduktes: a) in einem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang. ich habe die Aufgabe wie folgt versucht zu lösen. Die Diagonalen hab ich $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{q} <br /> \end{eqnarray}$ genannt. Die Seiten des Rechtecks $\begin{eqnarray} \vec{a} und \vec{b} \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} \| \vec{p} \| = \| \vec{q} \| \end{eqnarray}$ Voraussetuzungen $\begin{eqnarray} \vec{p} = \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{q} = \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{a} orthogonal zu \vec{b} \end{eqnarray}$ Beweis $\begin{eqnarray} \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray}$ und das ist ja dann das selbe oder ?
09.09.2009, 18:38	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{a}-\vec{b}\overset{\text{?}}{=}\vec{a}+\vec{b}\quad\big\|-\vec{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\vec{b}\overset{\text{?}}{=}\vec{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{b}\overset{\text{?}}{=}\vec{0} \end{eqnarray}$ kann irgendwie nicht sein oder? Was du zeigen sollst ist, dass sie gleich lang sind. Also das: $\begin{eqnarray} \|\vec{a}-\vec{b}\|=\|\vec{a}+\vec{b}\| \end{eqnarray}$ Was du dann auch noch zeigen musst. Hier fließt auch die orthogonalität mit ein, denn für beliebige Vektoren gilt das sicher nicht.
09.09.2009, 18:39	Lisa89	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Lösungsbuch steht folgende Lösung: $\begin{eqnarray} \vec{a} \vec{b} \end{eqnarray}$ = 0 -> $\begin{eqnarray} ( \vec{a} + \vec{b} )^2 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{a}² + \vec{b} ²+ 2* \vec{a} \vec{b} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{a}² + \vec{b}² \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ( \vec{a} - \vec{b} )^2 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{a}² + \vec{b} ² + 2 \vec{a} \vec{b} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{a}² - \vec{b}² \end{eqnarray}$ leider kann ich den gar nicht nachvollziehen mir ist nicht klar wo die Quadrate auf einmal herkommen :-/
09.09.2009, 18:51	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Da steht wohl beim zweiten kein Minus. Die Länge eines Vektors $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ ist doch definiert als $\begin{eqnarray} \|\vec{a}\|:=\sqrt{\vec{a}²} \end{eqnarray}$ , und die Wurzel spielt bei einem Test auf Gleichheit keine Rolle.
09.09.2009, 18:59	Lisa89	Auf diesen Beitrag antworten »
beim Zweiten steht $\begin{eqnarray} - 2 \vec{a} \vec{b} \end{eqnarray}$ Sorry! Warum spielt die Wurzel dann keine Rolle? Das versteh ich irgendwie nicht und wieso rechnet man dann nicht mit den Beträgen zum Quadrat sondern mit den Vektoren? Danke
09.09.2009, 19:05	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wenn die Wurzel gleich ist, sind es die Quadrate erst recht und umgekehrt, da wir ja hier von positiven Längen sprechen. Aber mal ein anderer Ansatz, auf den man vielleicht besser von alleine kommen könnte: Drück doch mal a und b mit Hilfe von p und q aus und verwende das dann mal mit der Bedingung a*b = 0.
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