Potenzreihen

09.09.2009, 19:48

pat1992

Potenzreihen

Hey,
ich muss in Mathe meiner Klasse erklären, was Potenzreihen sind und in welchem Zusammenhang sie mit der Exponentialfunktion stehen.
Da wir als Klasse uns das gesammte Thema Exponentialfunktion selbst bei bringen müssen, hab ich noch nicht sehr viel Ahnung davon. verwirrt

Was ich bis jetzt weiß ist nur, dass die Potenzreihe bei der Exponentialreihe absolut konvergent(was auch immer das bedeutet) ist, und sie so aufgebaut ist:
$\begin{eqnarray*} e^{x} = \sum_{k=0}^\infty ~\frac{x^k}{k!} = 1+ x+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdot \cdot \cdot \end{eqnarray*}$
Was Fakultät ist, weiß ich auch schon und ich glaube, dass diese Formel dazu dient, um der Eulerschen Zahl näher zukommen, d.h. man kann sie damit ausrechnen, oder?
Aber ich finde überall, dass man auch den Konvergenzradius berechnen kann oder muss? Das verstehe ich nicht so wirklich.
Wäre nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte
LG smile

09.09.2009, 20:10

Dorika

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Ja, mit der Formel approximierst (näherst an) du e.
Eine Reihe (Dieses große E) konvergiert also gegen einen (irrationalen) Wert, der e ist.
Sprich diese Reihe nimmt mit zunehmender Anzahl an Summanden einen immer genaueren Wert für e an, das heißt, sie konvergiert.

Der Konvergenzraidus gibt an, wie "schnell" eine Reihe gegen ihren Grezwert konvergiert.

lg

Wollte noch schnell hinzufügen, dass diese Approximation mit Hilfe der Taylorformel funktioniert.

$\begin{eqnarray*} T(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\cdot(x-x_0)^{1}+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot(x-x_0)^{2}+\frac{f'''(x_0)}{3!}\cdot(x-x_0)^{3} +............+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^{n} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$
und der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ abgeleitet immer $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$
ist folg die von dir oben stehende Taylorformel.

09.09.2009, 20:15

Leopold

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Zitat:

Original von Dorika
Ja, mit der Formel approximierst (näherst an) du e.

Aber nur im Falle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ .

09.09.2009, 20:31

pat1992

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oke gut, damit hab ich den Sinn von dem Konvergenzradius schonmal annähernd verstanden, den Rest wird dann wohl ein Klassenkamerad übernehmen, der das Thema hat.
Ich hab dann noch mal eine Frage:
wenn jetzt nicht x=1 ist, sondern eine andere Zahl, dann "berechne" ich ja nicht die Eulersche Zahl, sondern was sonst?
Genauso unklar sind mir noch die Anwendungsbereiche der Potenzreihe?! Also welchen Sinn sie hat.
lg

10.09.2009, 12:49

system-agent

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Zitat:

Original von Dorika
Der Konvergenzraidus gibt an, wie "schnell" eine Reihe gegen ihren Grezwert konvergiert.

Das stimmt nicht. Der Konvergenzradius gibt an, WO die Potenzreihe überhaupt konvergiert.
Angenommen, die Potenzreihe hatte den Konvergenzradius 2, dann wäre sie nur für solche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergent, die näher als 2 an der Null liegen, also im Intervall $\begin{eqnarray*} (-2,2) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ kann sie konvergent sein oder auch nicht, das muss man gesondert untersuchen. Aber sicher ist die dann für alle $\begin{eqnarray*} x\in(-\infty,-2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in(2,\infty) \end{eqnarray*}$ nicht mehr konvergent.
Die Potenzreihe der Exponentialfunktion hat den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , das heisst die konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Die absolute Konvergenz ist eine Eigenschaft die es ermöglicht zum Beispiel beliebig die Summanden zu vertauschen, ohne die Konvergenz zu zerstören oder den Wert der Reihe zu verändern.

Falls $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , dann ist der Wert der Reihe genau $\begin{eqnarray*} e^1=e \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} x=2009 \end{eqnarray*}$ ist der Wert $\begin{eqnarray*} e^{ 2009 } \end{eqnarray*}$ etc etc.
Das wird durch die Gleichheit
$\begin{eqnarray*} e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ ausgedrückt.

Zum Sinn einer Potenzreihe:
Man kann damit eine Funktion besser verstehen, weil man doch vieles mit einer absolut konvergenten Potenzreihe tun kann [zum Beispiel kann man damit leicht zeigen, dass die Ableitung der e-Funktion gerade wieder die e-Funktion selbst ist].
Ein anderer Sinn ist, dass sie angibt wie man in dem Fall die e-Funktion annähern kann mit Polynomen.
Brichst du die unendliche Reihe irgendwo ab, dann steht ein Polynom da und das liefert eine gewisse Annäherung an die Exponentialfunktion.
Vielleicht [da lasse ich mich auch gern eines besseren belehren] berechnet dein Taschenrechner zum Beispiel $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ sogar so, dass er den Wert der irgendwo abgebrochenen Potenzreihe ausrechnet mit $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ .

12.09.2009, 16:09

pat1992

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danke für eure hilfe, den Rest schaff ich dann alleine.

12.09.2009, 18:03

Mistmatz

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Zitat:

Original von system-agent
Vielleicht [da lasse ich mich auch gern eines besseren belehren] berechnet dein Taschenrechner zum Beispiel $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ sogar so, dass er den Wert der irgendwo abgebrochenen Potenzreihe ausrechnet mit $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ .

Heutige Taschenrechner wären wohl ziemlich langsam, wenn sie die Zahl e bei jedem Vorkommen mittels einer Potenzreihe berechnen müssten, was zudem noch sinnlos wäre, da eh immer das Gleiche rauskommt. Zudem erfordern Potenzreihen allgemein einen ziemlichen Rechenaufwand.
Deshalb wird in heutigen Taschenrechnern, wie auch in vielen Programmiersprachen, lediglich eine Approximation an die Zahl e als Konstante eingespeichert. In .NET beispielsweise enthält die Klasse System.Math die Eigenschaft E mit dem Wert: 2,7182818284590452354
e^2 wird dann einfach berechnet mittels: 2,7182818284590452354 * 2,7182818284590452354
Das Gleiche gilt für die Kreiszahl Pi.

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