Subtraktion und Addition von Brüchen

09.09.2009, 22:51

Nixo

Subtraktion und Addition von Brüchen

Hallo,

folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{a}{a-1} + \frac{a}{a+1} + \frac{2}{a^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Bitte um Lösungsansätze. (Geimeinsamen N bilden?)

Danke

09.09.2009, 22:54

tigerbine

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RE: Subtratrion und Addition von Brüchen
Willkommen

Ja. Dritte binomische Formel beachten.

10.09.2009, 00:23

Nixo

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Wie ermittle ich den gemeinsamen HN?

Wäre diese Zwischenrechnung richtig:

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{a^{2}+a}{a^{2}-1} + \frac{a^{2}-a}{a^{2}-1}+\frac{2}{a^{2}-1} \end{eqnarray*}$

wobei 1= a^2-1 / a^2-1 sein könnte.

10.09.2009, 00:32

tigerbine

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10.09.2009, 09:10

Nixo

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moin,

okay....

Mein Endergebnis wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}+1}{a^{2}-1} \end{eqnarray*}$

jedoch soll laut Lösung das herauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-1}{a+2} \end{eqnarray*}$

Irgendwie fehlt mir der Blick für den gemeinsamen HN, hab mehrere von diesen Aufgaben und bei jeder habe ich das gleiche Problem.
Gibt es da einen Trick bzw. hat jemand einen Tipp?

Danke

10.09.2009, 09:26

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Zitat:

Original von Nixo
jedoch soll laut Lösung das herauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-1}{a+2} \end{eqnarray*}$

Da hast du dich wohl verschrieben, richtig ist $\begin{eqnarray*} \frac{a-1}{a+1} \end{eqnarray*}$ .

Geh deinen oben angefangenen Weg nur konsequent zu Ende - abschließend kannst du noch $\begin{eqnarray*} (a-1) \end{eqnarray*}$ kürzen und so auf das genannte Endergebnis kommen.

10.09.2009, 13:49

Nixo

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Du hast recht, hatte mich vertippt.

Komme trotzdem nicht auf das Ergebnis.

Schaut mal....

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}+1}{a^{2}-1} = \frac{\left(a-1\right)* \left(a-1\right) }{\left(a+1\right) *\left(a-1\right)} \end{eqnarray*}$

denn die Rechnung oben auf dem Bruchstrich stimmt nicht einmal...müßten ja noch -2a übrig bleiben

10.09.2009, 14:05

Q-fLaDeN

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Bis hierhin:

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{a^{2}+a}{a^{2}-1} + \frac{a^{2}-a}{a^{2}-1}+\frac{2}{a^{2}-1} \end{eqnarray*}$

ist deine Rechnung noch richtig, aber dann hast du irgendwo einen Fehler drin. Ich vermute folgenden:

$\begin{eqnarray*} -\frac{a^2+a}{a^2-1} = \frac{-a^2-a}{a^2-1} \neq \frac{-a^2+a}{a^2-1} \end{eqnarray*}$

10.09.2009, 14:07

Bakatan

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original von Nixo:

Zitat:

denn die Rechnung oben auf dem Bruchstrich stimmt nicht einmal...müßten ja noch -2a übrig bleiben

genau! und dann gibt es noch sowas wie die 2. binomische Formel.

10.09.2009, 14:19

Gualtiero

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@Nixo
Die rechte Seite Deiner Gleichung im letzten Beitrag ist richtig. Was hindert Dich, durch $\begin{eqnarray*} (a-1) \end{eqnarray*}$ zu kürzen; dann hast Du das Ergebnis.

Auf der linken Seite sollte es dann allerdings heißen: $\begin{eqnarray*} \frac{a^2-2a+1}{a^2-1} \end{eqnarray*}$

10.09.2009, 16:26

Nixo

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jetz hab ichs....hatte das Vorzeichen von dem zweiten Bruch nicht gedreht.

Vielen Dank an alle Mitwirkenden, finde das wirklich toll wie hier einem geholfen wird, besonders das nicht gleich der komplette Rechenweg vorgegeben wird.

Kann mir jemand trotzdem mal erklären wie am schnellsten erkennen kann, welchen HN ich bilden muss. Oder zählt immer der Nenner mit der höchsten Potenz?

Gruß Nico

10.09.2009, 17:40

Nixo

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Hab mal noch ein paar ähnliche Aufgaben gerechnet und bis auf zwei hat es tadellos fkt. -jedoch komme ich bei zwei Aufgaben auf keinen Ansatz wie ich den gemeinsamen HN bilde.

1)
$\begin{eqnarray*} \frac{p}{1-\frac{1}{p} } -\frac{1}{p-1} \end{eqnarray*}$

2)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} +\frac{u^{2}+1}{u^{2}-u } -\frac{u-1}{u^{2}+u} -\frac{4}{u^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Bin für jeden Tip dankbar.

10.09.2009, 17:43

Q-fLaDeN

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Zu 1)

Erweitere den linken Bruch mal mit p und dir wird ein Lichtlein aufgehen Augenzwinkern

zu 2)

Klammere bei den beiden mittleren Brüchen jeweils ein u im Nenner aus, vllt. siehst du es ja dann schon.

10.09.2009, 19:32

Nixo

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zu1)

okay....

zu2)

steht dann: u*(u-1) und u*(u+1)

und dann? sehe nicht wie ich weiter machen müßte. den zweiten bruch von rechts könnte ich mit dem zähler kürzen !!?? würde 1/u stehen bleiben....

10.09.2009, 19:51

Q-fLaDeN

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Nein, da kann man nichts kürzen. Oder kürzt du x-1 mit x+1 ?

Also haben wir

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} +\frac{u^{2}+1}{u^{2}-u } -\frac{u-1}{u^{2}+u} -\frac{4}{u^{2}-1} = \frac{1}{u}+\frac{u^2+1}{u(u-1)}-\frac{u-1}{u(u+1)}-\frac{4}{(u-1)(u+1)} \end{eqnarray*}$

Siehst du jetzt den Hauptnenner? (Wenn man sichs nicht aufschreibt (was du eben nicht gemacht hast), kann man ihn natürlich auch nicht so leicht sehen...)

10.09.2009, 21:56

Nixo

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stehe irgendwie auf dem Schlauch.....

würde auf (u-1) tippen. Nur steht unter dem einen (u+1)*u

Danke für die Formeldarstellung.

10.09.2009, 22:17

Q-fLaDeN

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Schaun wir uns mal die Nenner an, um den Hauptnenner zu finden.

u

u(u-1)

u(u+1)

(u-1)(u+1)

Siehst dus JETZT?

10.09.2009, 22:22

Nixo

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10.09.2009, 22:40

Nixo

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war wohl falsch?

10.09.2009, 22:47

Bakatan

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u ist nur der nenner vom ersten Term. den ganzen Rest must du schon auch noch berücksichtigen.
Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7}+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ wie würdest du denn den Hauptnenner davon bilden? Note: die Nenner sind 3 und 7. Der Hauptnenner ist sicherlich weder 3 noch 7.

10.09.2009, 22:52

Nixo

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21

steh trotzdem völlig auf dem schlauch

11.09.2009, 02:31

Q-fLaDeN

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Was hältst du von

$\begin{eqnarray*} u(u+1)(u-1) \end{eqnarray*}$

als Hauptnenner?

11.09.2009, 10:36

Nixo

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Moin,

leuchtet ein....also hätten wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{(u+1)*(u-1)}{u*(u+1)*(u-1)}+\frac{(u^{2}+1)*(u+1) }{u*(u+1)*(u-1)}-\frac{(u-1)*(u-1)}{u*(u+1)*(u-1)}-\frac{4u}{u*(u+1)*(u-1)} \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \frac{u^{2} -1+u^{3} +u^{2}+u+1-( u^{2}-2u+1)-4u }{u*(u+1)*(u-1)} \end{eqnarray*}$

stimmt das Zwischenergebnis?
$\begin{eqnarray*} \frac{u^{3} +u^{2} -u-1}{u^{3}+u} \end{eqnarray*}$

11.09.2009, 14:50

Q-fLaDeN

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Ok, erweitert hast du schonmal richtig.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u}+\frac{u^2+1}{u(u-1)}-\frac{u-1}{u(u+1)}-\frac{4}{(u-1)(u+1)} = \frac{(u+1)(u-1)}{u(u+1)(u-1)}+\frac{(u^2+1)(u+1)}{u(u+1)(u-1)}-\frac{(u-1)^2}{u(u+1)(u-1)}-\frac{4u}{u(u+1)(u-1)} = \frac{(u+1)(u-1)+(u^2+1)(u+1)-(u-1)^2-4u}{u(u+1)(u-1)} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber bitte bitte NICHT ausmultiplizieren! Denn da kann man noch einiges kürzen (Nebenbei hast du den Nenner auch noch falsch ausmultipliziert)

Du kannst jetzt beispielsweise damit anfangen, den Faktor (u+1) in den ersten beiden Summanden des Zählers auszuklammern.

11.09.2009, 17:11

Nixo

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hallo,

meint du so...

Zähler:
$\begin{eqnarray*} (u+1)*((u-1)+(u^{2} +1))-(u-1)^{2}-4u \end{eqnarray*}$

11.09.2009, 17:12

Nixo

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die doppelte klammer sollte ganz links stehen

11.09.2009, 17:54

Q-fLaDeN

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Gennau so! jetzt kannst du in der 2. Klammer erstmal was zusammenfassen und anschließend den Bruch auseinander ziehen.

11.09.2009, 18:09

Nixo

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meinst du diese Klammer?
$\begin{eqnarray*} ((u-1)+(u^{2} +1)) \end{eqnarray*}$

11.09.2009, 18:13

Q-fLaDeN

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Ja, einfach auflösen. Dann kann man aus dieser Klammer nochmal u ausklammern.

11.09.2009, 18:26

Nixo

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$\begin{eqnarray*} (u+1)*(u*(u^{2}+1-u-\frac{1}{u} ))) \end{eqnarray*}$

richtig?

12.09.2009, 01:24

Q-fLaDeN

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Nein, falsch. Mach das doch nach der Reihenfolge, die ich dir sage.

Also erst die Klammer auflösen, und dann u ausklammern.

$\begin{eqnarray*} (u-1)+(u^{2} +1) = u-1+u^2+1 = ? \end{eqnarray*}$

12.09.2009, 10:08

Nixo

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Morgen,

hatte ein * zwischen den klammern stehen....sorry

dann hätten wir:

$\begin{eqnarray*} u*(1-\frac{1}{u}+u+ \frac{1}{u}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} u*(1+u) \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} \frac{(u+1)*(u*(u+1))}{u*(u+1)*(u-1)} \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} \frac{(u+1)}{(u-1)} \end{eqnarray*}$ ?????????

12.09.2009, 13:30

Nixo

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kann mir jemand bestätigen, dass das Teilergebnis stimmt?

12.09.2009, 14:14

Q-fLaDeN

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Ja, richtig. Ich sehe gerade, dass es besser ist, den Bruch ersteinmal nicht auseinander zu ziehen.
Wir sind nun also hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{(u+1)(u-1)+(u^2+1)(u+1)-(u-1)^2-4u}{u(u+1)(u-1)} = \frac{u(u+1)^2-(u-1)^2-4u}{u(u+1)(u-1)} = \frac{u(u+1)^2-\overbrace{((u-1)^2+4u}^{= ?})}{u(u+1)(u-1)} \end{eqnarray*}$

Überlege dir nun, wie man die beiden Summanden zu einem Produkt verwandeln kann.
Tipp:
1. Binomische Formel

12.09.2009, 18:00

Nixo

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verstehe nicht wie du die beiden linken Summanden zusammengefasst hast.

$\begin{eqnarray*} (u+1)(u-1)+(u^2+1)(u+1) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} u(u+1)^2 \end{eqnarray*}$

12.09.2009, 18:30

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} (u+1)(u-1)+(u^2+1)(u+1) =(u+1)((u-1)+(u^2+1)) = (u+1)(u-1+u^2+1) = (u+1)(u^2+u) = u(u+1)(u+1) = u(u+1)^2 \end{eqnarray*}$

14.09.2009, 16:16

Nixo

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Hallo,

nun hätten wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{u(u+1)^2-\overbrace{((u-1)^2+4u}^{= ?})}{u(u+1)(u-1)}=\frac{u*(u+1)^2-((u+1)^2)}{u*(u+1)(u-1)} \end{eqnarray*}$

okay?

14.09.2009, 16:21

Q-fLaDeN

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Richtig.

Jetzt noch $\begin{eqnarray*} (u+1)^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern, kürzen (und wenn du willst noch den Bruch auseinander ziehen) - fertig.

14.09.2009, 17:34

Nixo

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nur die rechte oder beide?

Dreht sich das Vorzeichen in der rechten Klammer aufgrund dem Minus davor?

14.09.2009, 18:25

Q-fLaDeN

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Ja das Vorzeichen dreht sich.

$\begin{eqnarray*} \frac{u(u+1)^2-((u+1)^2)}{u*(u+1)(u-1)} = \frac{u(u+1)^2-(u+1)^2}{u*(u+1)(u-1)} \end{eqnarray*}$