Arithmetische Funktionen und Gleichungen

10.09.2009, 14:10

Zadu

Arithmetische Funktionen und Gleichungen

hallo,

habe ein Aufgabenblatt mit einer ganzen Reihe von Aufgaben, bei denen ich nicht weiter komme. Alle Aufgaben sind ähnlich und die Lösung soll irgend etwas mit den Eigenschaften arithmetischer Funktionen zu tun haben

z.B. Beweise, dass die Gleichung x²+y²+1=z² unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat

oder beweisen Sie das die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{4} + y^{4} = z^{2} \end{eqnarray*}$ keine ganzzahligen lösungen hat

währe für einen hinweis sehr dankbar

11.09.2009, 20:44

Zadu

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Also für die zweite habe ich doch noch eine Idee

so kann man die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{4} + y^{4} = z^{2} \end{eqnarray*}$ auch als pythagoräisches trioel auffassen p=x² un q=y²
Bekannter maßen hat der Pythagoras unendlich viele ganzzahlige Lösungen
mit p=2uv q=u²-v² und z=u²+v² u,v in Z
also $\begin{eqnarray*} x= \sqrt{ \left(2uv\right) }<br /> <br /> y= \sqrt{ \left( u^{2} - v^{2}\right)} \end{eqnarray*}$

wenn man nun zeigen kann, dass sich ein Widerspruch ergibt, währe die Aufgabe gelöst
ja und an diesen Widersruch haperts noch

hoffe jeman hat eine idee wie man das zeigen könte

11.09.2009, 21:27

system-agent

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Wieso soll die zweite Gleichung keine ganzzahligen Lösungen haben?
Es ist zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} 0^4+2^4=4^2 \end{eqnarray*}$

12.09.2009, 09:09

Mystic

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Ja, ganzzahlige Lösungen ungleich 0 sind hier natürlich gesucht...

Mit der Verwendung der allgemeinen Formel für pythagoräische Tripeln bist du übrigens auf dem richtigen Weg, nur solltest du von einer Lösung ausgehen, wo |z| >0 minimal ist und zeigen, dass es dann immer noch eine weitere Lösung mit einem kleineren Wert von |z|>0 gäbe...

12.09.2009, 13:27

Zadu

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Habe mich zwar noch einmal daran gesetzt leider aber komme ich auch mit deinem Hinweis nicht vorran Forum Kloppe

trotzdem danke

12.09.2009, 22:39

Abakus

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@ Zadu: was meinst du mit Eigenschaften arithm. Funktionen? Es geht um Stoff einer Zahlentheorie-Vorlesung?

Mit Mystics Hinweis kannst du die Annahme machen, dass dein z minimal sein soll (o.E. z >0). Zur Darstellung der pythag. Tripel kannst du weiter überlegen, welche Eigenschaften eine "indische" Darstellung $\begin{eqnarray*} (u^2 - v^2, 2uv, u^2 + v^2) \end{eqnarray*}$ haben muss. Da bist du schon bei. Jetzt suche noch einen Widerspruch zur vorausgesetzten Minimalität.

Grüße Abakus smile

13.09.2009, 10:15

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Zu 1. Schau dir doch einfach mal

$\begin{eqnarray*} x^2+1 = z^2-y^2 = (z-y)(z+y) \end{eqnarray*}$ ,

da müsste dir doch einfallen, wie man zu gegebenen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (Ok, nicht allen möglichen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , aber sehr vielen Augenzwinkern

) man passende $\begin{eqnarray*} y,z \end{eqnarray*}$ angeben kann...

P.S.: Es gibt sogar unendlich viele Lösungen speziell mit $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ , aber das ist etwas schwieriger als der obige einfache Zugang. Augenzwinkern

13.09.2009, 10:50

Mystic

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Hier noch ein kleiner Hinweis zu 2., auf den man vielleicht nicht selbst draufkommt: Ist 2uv ein Quadrat mit teilerfremden Zahlen ganzen Zahlen u und v, so geht das nur, indem entweder u/2 und v oder u und v/2 selbst Quadrate sind...

13.09.2009, 17:30

Zadu

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Hallo an alle

ich habe mich zwar noch einmal 3 Stunden damit herumgeschlagen, aber ich
sehe/finde/verstehe es bei beiden Aufgaben einfach nicht. Bei mir sind echt hopfen und Malz verloren.

naja trotz dem noch mal danke

13.09.2009, 17:43

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Na du hast doch schon passende Gedanken dazu, nur konsequent weiterdenken. Ich fang mal an, wie ich es aufschreiben würde:

Angenommen, es gibt (nichttriviale) Lösungen. Dann betrachten wir eine Lösung mit minimalen $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ . Dann sind $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ teilerfremd, ansonsten gäbe es mit $\begin{eqnarray*} g = \operatorname{ggT}(x,y) > 1 \end{eqnarray*}$ eine kleinere Lösung $\begin{eqnarray*} \left( \frac{x}{g} , \frac{y}{g}, \frac{z}{g^2} \right) \end{eqnarray*}$ , Widerspruch zur Minimalität.

Für dieses primitive pythagoräische Tripel mit o.B.d.A. ungeradem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt es die Darstellung

$\begin{eqnarray*} x^2 &=& 2uv \\ y^2 &=& u^2-v^2 \\ z &=& u^2+v^2 \end{eqnarray*}$

mit teilerfremden $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ . Aus der zweiten Gleichung folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} (v,y,u) \end{eqnarray*}$ ein primitives pythagoräisches Tripel sein muss, also gibt es die Darstellung

$\begin{eqnarray*} v &=& 2rs \\ y &=& r^2-s^2 \\ u &=& r^2+s^2 \end{eqnarray*}$

mit teilerfremden $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ . Dann erhalten wir aus der obigen Gleichung für $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ die Darstellung

$\begin{eqnarray*} x^2 = 4rs(r^2+s^2) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt denk an die letzten Anmerkung von Mystic ...

P.S.: Möglicherweise übersehe ich etwas und es geht noch einfacher, aber das ist die Variante, die mir ohne Kenntnis des "Originalbeweises" und mit der ersten Anregung von Mystic eingefallen ist. Augenzwinkern

13.09.2009, 18:20

Zadu

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so frustrierend, wie das jetz auch klingen mag: so weit war ich auch schon, springt einem ja fast entgegen, wenn man erst einmal auf den Pythag. kommt.

aber ich sehe es einfach nicht unglücklich

13.09.2009, 18:34

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Zitat:

Original von Zadu
so frustrierend, wie das jetz auch klingen mag: so weit war ich auch schon, springt einem ja fast entgegen

Für diesen immer wieder vorgebrachten altklugen Satz von Leuten, die diese Gedanken dann aber doch nicht hier aufschreiben, gibt's erstmal das hier: Forum Kloppe

Es ist doch praktisch nur noch ein Schritt von hier:

$\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ sind teilerfremd, also sind $\begin{eqnarray*} r,s,r^2+s^2 \end{eqnarray*}$ paarweise teilerfremd, und folglich alle drei vollständige Quadrate!!!

13.09.2009, 18:49

Zadu

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aber wo ist denn da der wiederspruch?

13.09.2009, 18:55

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Komisch - "soweit war ich auch schon", aber wenn es mit ausgedehnten Tipp auch nur einen Schritt weitergehen soll, ist schon wieder finito. verwirrt

Aus der letzten Anmerkung ergibt sich, dass es $\begin{eqnarray*} x',y' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r=x'^2,s=y'^2 \end{eqnarray*}$ gibt, dies dann in die $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ -Formel eingesetzt und dividiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{4x'^2y'^2} = x'^4 + y'^4 \end{eqnarray*}$

Setzt man schließlich noch $\begin{eqnarray*} z' = \frac{x}{2x'y'} \end{eqnarray*}$ , ergibt sich was?

13.09.2009, 19:02

Zadu

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Klar jetzt sehe ich es auch
warscheinlich war ich nur selbst zu frustriert mich noch mal dahinter zu klemm
verdiene wohl noch mal: Forum Kloppe

In zukunft werde ich meine ansätze mit hineinschreiben

haoffe ich habe kein böses blut beschworen

mfg Zadu

13.09.2009, 19:06

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Böses Blut nicht, ich hab ja weiter geantwortet. Aber den obigen Spruch finde ich echt zum Kotzen

14.09.2009, 09:26

Mystic

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Ok, nachdem nun auch Zado den Wi(e)derspruch sieht, kann man ja die 2. Frage zu den Akten legen...

Zur ersten Frage noch die weitere Anmerkung, dass sich prinzipiell JEDE ungerade Zahl als Differenz von Quadraten schreiben lässt, indem man von der Formel

$\begin{eqnarray*} uv = \large ( \frac {u+v} 2 \large )^2- \large ( \frac {u-v} 2 \large )^2 \end{eqnarray*}$

Gebrauch macht. Man muss also nur durch die richtige Wahl von x dafür sorgen, dass

$\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$

ungerade wird, was ja nicht zu schwer sein sollte...

15.09.2009, 12:50

Zadu

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Ok

also sei x eine gerade ganze Zahl => x² ist gerade => x²+1 ist ungerade
also setze x²+1=: u*v wobei u,v aus N und beide ungerade , dann reicht das ja schon

doch kann man das auch lösen ohne den Zusammenhang von Mystic zu benutzen? verwirrt

15.09.2009, 13:27

Mystic

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Zitat:

Original von Zadu
Ok

also sei x eine gerade ganze Zahl => x² ist gerade => x²+1 ist ungerade
also setze x²+1=: u*v wobei u,v aus N und beide ungerade , dann reicht das ja schon

doch kann man das auch lösen ohne den Zusammenhang von Mystic zu benutzen? verwirrt

Irgendwie werde ich das Gefühl nicht los, du hast meine Lösung noch immer nicht verstanden, wie mir schon daraus hervorzugehen scheint, dass du betonst, dass u und v ungerade sein müssen, obwohl das durch die Tatsache, dass uv ungerade ist schon mehr als sichergestellt ist... Mit anderen Worten, du darfst die Zerlegung

$\begin{eqnarray*} x^2+1 = uv \end{eqnarray*}$

mit ganzzahligen u,v beliebig (!!!) wählen, also z.B. $\begin{eqnarray*} u=x^2+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=1 \end{eqnarray*}$ . Damit kommst du dann mit x=2n auf die Formel

$\begin{eqnarray*} 1+(2n)^2+(2n^2)^2 = (2n^2+1)^2 \end{eqnarray*}$

welche die Aufgabe auf einfachste Weise löst... Was genau gefällt dir daran nicht? verwirrt

15.09.2009, 13:46

Zadu

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Erst mal noch mal danke für den Hinweis

Ich finde die Lösung Toll: kurz, elegant alles was zu einer guten Lösung gehört Freude

aber das setzt natürlich vorraus, das man den beseagten Zusammenhang kennt. Ich kannte ihn nicht, in der VL kam er nicht dran und daher habe ich überlegt ob der Prof vielleicht einen anderen Weg gemeint hat.
Ich habe z.B. eine weile überlegt, ob man die Gleichung nicht als aditive arithmetische Fkt. darstellen könnte (schließlich haben wir das aufgabenblatt zum Thema Arithmetische Fkt. bekommen) aber das hat nur zu wiedersprüchen geführt.

Ich hebe mir fest vorgenommen keine Aufgabe in das Forum zu geben, wo ich nicht mindestens 2h selbst dran gesessen habe. Mit der Zeit beginnt man halt an sich selbst zu zweifeln wenn man einfach nicht weiter kommt. Na ja und da ist es schon Balsam auf die Seele wenn man später sieht, dass man es nur mit dieser oder jener Gesetzmäßigkeit machen kann, die man vorher nicht kannte.

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