Ableitung

10.09.2009, 15:50

Sonic-9

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Ableitung

Hey!

ich hab gerade zwei Funktionen abgeleitet. mein problem ist, dass das lösungsbuch anderer meinung ist (aber die haben ja auch nicht immer recht smile

smile

)

erste Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{ (1+x)^{2} }{(1-x)^{2}} \end{eqnarray*}$

meine Lösung:
hab zuerst mal nenner und zähler mit der kettenregel bearbeitet und danach die quotientenregel angewandt

$\begin{eqnarray*} \frac{4*(1+x)}{(1-x)^{4} } \end{eqnarray*}$

lösungsbuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{4*(1+x)}{(1-x)^{3} } \end{eqnarray*}$

wer hat recht? (falls das lösungsbuch recht hat kan ich gerne mal meine rechnung hier reinstellen...)

zweite aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{( x^{2}-1) ^{2}} \end{eqnarray*}$

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{4x (x^{2}-1) }{3*\sqrt[3]{( x^{2}-1) ^{2}} } \end{eqnarray*}$

lösungsbuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{4x }{3*\sqrt[3]{( x^{2}-1) } } \end{eqnarray*}$

wieso kürzt er noch $\begin{eqnarray*} (x^{2} -1) \end{eqnarray*}$ ? welche regel haftet da?
(wäre der term nicht unter einer wurzel hätte ich es auch gemacht. aber ich kann doch nicht einfach die wurzel ignorieren und kürzen? ist doch ein kleiner unterschied, ob ein term "allleine" unter dem nenner steht oder eben im nenner unter einer wurzel, oder nicht?

danke für die tipps...

10.09.2009, 16:14

Q-fLaDeN

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RE: Ableitung

Zitat:

Original von Sonic-9
wer hat recht? (falls das lösungsbuch recht hat kan ich gerne mal meine rechnung hier reinstellen...)

Das Lösungsbuch. Wenn du einen Bruch hast, kannst du nicht Nenner und Zähler einzeln betrachten/ableiten.

Zitat:

Original von Sonic-9
wieso kürzt er noch $\begin{eqnarray*} (x^{2} -1) \end{eqnarray*}$ ? welche regel haftet da?

Hier hat auch dein Lösungsbuch recht.

Hier wird nichts zusätzlich gekürzt, sondern du hast dich einfach verrechnet.

Am besten schreibst du mal deine Rechnungen auf.

\Edit:

Zitat:

Original von Sonic-9
(wäre der term nicht unter einer wurzel hätte ich es auch gemacht. aber ich kann doch nicht einfach die wurzel ignorieren und kürzen? ist doch ein kleiner unterschied, ob ein term "allleine" unter dem nenner steht oder eben im nenner unter einer wurzel, oder nicht?

Ja da hast du recht. Spielt aber in diesem Fall keine Rolle.
Kürzen kann man jedoch schon, denn es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{4x (x^2-1) }{3 \cdot \sqrt[3]{( x^2-1) ^2} } = \frac{4x}{3} \cdot \frac{x^2-1}{(x^2-1)^{\frac 2 3}} = \frac{4x}{3} \cdot (x^2-1)^{1-\frac 2 3} = \dots \end{eqnarray*}$

Hier greift die Regel

$\begin{eqnarray*} \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \end{eqnarray*}$

Aber da du dich vorher schon verrechnet hast, braucht man das hier gar nicht zu machen.

10.09.2009, 16:25

Bakatan

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Das Ergebnis der ersten Aufgabe, was einfacher nach zu vollziehen ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left(\frac{(1+x)²}{(1-x)²}\right)=\frac{2(1+x)}{(1-x)²}+\frac{2(1+x)²}{(1-x)³} \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis im Lösungsbuch entsteht dann durch Vereinfachung, das Plus in der Mitte entsteht durch das Minus aus der Quotientenregel und der Ableitung von -x.
Wie Q-fLaDeN bereits erwähnt hat, du musst schon in der richtigen Reihenfolge ableiten.

10.09.2009, 16:36

Sonic-9

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ich würde kurz mal mit der ersten aufgabe anfangen:

du sagst "... bei bruch, kannst du nenner und zähler nicht einzeln betrachten"

dann hab ich also schon am anfang einen fehler gemacht. ich bin so vorgegangen:

gegeben funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+x)^{2}}{(1-x)^{2}} \end{eqnarray*}$

zunächst habe ich die Kettenregel angewendet, um die ableitungen zu erhalten:

F = $\begin{eqnarray*} (1+x)^{2} \end{eqnarray*}$

G = $\begin{eqnarray*} (1-x)^{2} \end{eqnarray*}$

F setzt sich zusammen aus

f= $\begin{eqnarray*} (1+x)^{2} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} 2*(1+x) \end{eqnarray*}$

g= $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$

und daraus folgt Ableitung für F
F´= $\begin{eqnarray*} 2*(1+x) \end{eqnarray*}$

genau das gleiche vorgehen bei G ergab dann folgende Ableitung
G´= $\begin{eqnarray*} -2*(1-x) \end{eqnarray*}$

falscher weg?

Anschließend hab ich dann die quotientenregel benutzt...

10.09.2009, 16:59

Bakatan

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Zuerst Quotientenregel. Beim anwenden dieser benötigst du dann automatisch die Kettenregel, beim berechnen der Ableitung des Zählers und des Nenners, welche in der Quotientenregel vorkommen.

10.09.2009, 17:02

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Sonic-9
falscher weg?

Anschließend hab ich dann die quotientenregel benutzt...

Ja, wie bereits gesagt ist das der falsche Weg.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Funktion abzuleiten.

Du kannst umschreiben

$\begin{eqnarray*} y=\frac{ (1+x)^{2} }{(1-x)^{2}} = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Und dann die Kettenregel verwenden. (Innere Ableitung muss dann mittels Quotientenregel berechnet werden)

Oder du kannst umschreiben:
$\begin{eqnarray*} y=\frac{ (1+x)^{2} }{(1-x)^{2}} = (1+x)^2 \cdot (1-x)^{-2} \end{eqnarray*}$

Und dann die Produktregel verwenden.

Oder du nimmst gleich von Anfang an die Quotientenregel.

Aber Zähler und Nenner einzeln zu betrachten, das geht nicht.

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10.09.2009, 17:22

Sonic-9

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ok, ihc verwende zuerst die quotientenregel. dann habe ich ja aber wieder das gleiche problem. (wenn ich die funktion mal nicht umschreibe-was ja auch funktionieren müsste. und dann setzt sich der quotient aus f(x) im zähler und g(x) im nenner zusammen.)
dann leite ich den zähler ab und den nenner (und die besonderheit hierbei ist eben,dass es sich hier noch um eine kette handelt).

und das ist falsch. aber verstanden habe ich das noch nicht?

10.09.2009, 17:33

Q-fLaDeN

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Was verstehst du denn nicht? Nutze einfach die Quotientenregel.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{ (1+x)^{2} }{(1-x)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{g'(x) \cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{h^2(x)} = \frac{2(1+x) \dots}{((1-x)^2)^2} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Methode musst du natürlich Zähler und Nenner einzeln ableiten. ABER "die Zusammensetzung" ist eben anders. D. h. man leitet Zähler und Nenner einzeln ab und setzt diese dann dementsprechend in die Quotientenregel ein.

Angenommen du hast die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^3-2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ , dann ist die Ableitung ja auch nicht $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{3x^2-2}{2x} \end{eqnarray*}$ sondern eben $\begin{eqnarray*} \frac{(3x^2-2) \cdot (x^2+1)-(x^3-2x)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

10.09.2009, 17:42

Sonic-9

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$\begin{eqnarray*} y = \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{ (1+x)^{2} }{(1-x)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{g'(x) \cdot h(x)-g(x) \cdot h'(x)}{h^2(x)} = \frac{2(1+x) \dots}{((1-x)^2)^2} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt im Zähler aber nur $\begin{eqnarray*} 2(1+x) * h(x)... \end{eqnarray*}$ nehme, dann beachte ich ja nur die "äußere" Funktion?

10.09.2009, 17:45

Q-fLaDeN

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Du musst bei den einzelnen Ableitungen h'(x) und g'(x) eben noch die Kettenregel anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2009, 17:45

Sonic-9

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kannst du dir kurz diese aufgabe ansehen:

die ist so ähnlich wie meine (daher hab ich auch meine idee mit der kettenregel als erstes)

http://sos-mathe.ch/a/a1/a12/aufg_a12.html

AUFGABE 4

ps hier ist doch erst kette dann quotientenregel oder?

10.09.2009, 21:54

Sonic-9

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$\begin{eqnarray*} \frac{(2*(1+x) * (1-x)^{2}) - ((1+x)^{2}*-2*(1-x) )}{ (1-x)^{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2+2x) * (1-x)^{2}) - ((1+x)^{2}*(-2+2x) )}{ (1-x)^{4} } \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich doch erst die quotientenregel benutzt und dann für die Ableitungen die Kettenregel und trotzdem falsch??
wo ist hier jetzt der denkfehler?

11.09.2009, 02:27

Q-fLaDeN

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Warum trotzdem falsch? Das ist richtig!

Du musst nur noch (1-x) ausklammern, kürzen und den Rest im Zähler ausmultiplizieren und zusammen fassen.

13.09.2009, 14:29

Sonic-9

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hey Q-fLaDeN. sorry für die späte antwort. ich hab das nochmal gerechnet. ich hatte diesen lösungsweg schon am anfang nur eben dieses falsche ergebnis. hab jetzt aber den fehler gefunden.

ich habe zunächst nicht (x-1) ausgeklammert, sondern alles ausmultipliziert und anschließend zusammenaddiert/subtr - und da ging einiges schief.

hab es nun nochmal gerechnet und komm auf folgende lösung. jetzt stimmt auch mein rechenweg.

$\begin{eqnarray*} \frac{4-4x^{2} }{(x-1) ^{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-4x^{2} = 4* ((x-1)(x+1)) \end{eqnarray*}$

und damit:

$\begin{eqnarray*} \frac{4*(x+1) }{(x-1) ^{3} } \end{eqnarray*}$

versuch jetzt nochmal die zweite aufgabe. ich zeig dir mal meinen lösungsweg..konnte meinen fehler immer noch nicht entdecken:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(x^{2}-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

ich habe folgene regel angewandt:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{f(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y1=\frac{f1(x)}{n\sqrt{f(x)} } \end{eqnarray*}$

und nun ergaben sich bei meiner rechnung folgende zwischenergebinisse:

Ableitung der Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ 3 \sqrt[3]{(x^{2}-1)^{2} } } \end{eqnarray*}$

Ableitung von f(x) (unter anwendung der kettenregel:.)

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^{2}-1)^{2} \end{eqnarray*}$

äußere ableitung: $\begin{eqnarray*} 2*(x^{2}-1) \end{eqnarray*}$

innere Ableitung: $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f1(x)= 4x*(x^{2}-1) \end{eqnarray*}$

und nun zusammen angewendet:

y1= $\begin{eqnarray*} \frac{ 4x*(x^{2}-1) }{ 3 \sqrt[3]{(x^{2}-1)^{2} } } \end{eqnarray*}$

13.09.2009, 18:19

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Sonic-9
ich habe folgene regel angewandt:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{f(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y1=\frac{f1(x)}{n\sqrt{f(x)} } \end{eqnarray*}$

Ich vermute, du meinst

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow y' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} \end{eqnarray*}$

Diese Regel kannst du hier aber gar nicht anwenden, da du keine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{f(x)} \end{eqnarray*}$ gegeben hast!

Du benötigst nur die Potenz- und die Kettenregel. Zuerst mal ein wenig umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(x^{2}-1)^{2}} = (x^2-1)^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt besagte Regeln anwenden, und schon bist du fertig.

14.09.2009, 16:27

Sonic-9

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also das umschreiben macht die sache deutlich einfacher- viel übersichtlicher!

komm jetzt auf

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} x (x^{2}-1) \end{eqnarray*}$

ps danke für die hilfe!

14.09.2009, 16:43

Q-fLaDeN

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verwirrt

Wie kommst du denn darauf? Ich sagte doch, Potenz- und Kettenregel anwenden!

Deine Ableitung ist einfach nur völlig falsch...

14.09.2009, 16:57

Sonic-9

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hab die potenzregel falsch gemacht: ich hoff jetzt stimmt´s..

äußere Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} ( x^{2}-1)^{{-1/3} } \end{eqnarray*}$ inner Ableitung: $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$

und damit:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} x (x^{2}-1)^{ \frac{-1}{3}} \end{eqnarray*}$

14.09.2009, 17:12

Q-fLaDeN

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Genau!

Und

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} x (x^{2}-1)^{ \frac{-1}{3}} = \frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2-1}} \end{eqnarray*}$

Genauso wies im Lösungsbuch steht.

14.09.2009, 17:20

Sonic-9

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Genial! vielen vielen dank für deine hilfe!!!!

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