Halbwinkelformeln und Vereinigungsmengen

10.09.2009, 13:56	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Halbwinkelformeln und Vereinigungsmengen Titel wie "Eventueller Bedarf von Korrektur" sollte ich ja auslassen. Trotzdem ist es immer noch dasselbe: Ich bin mir, vor allem bei den Beweisen mit Mengen, nicht ganz sicher ob es so reicht. Zu beweisen sind zuerst die Halbwinkelformeln $\begin{eqnarray} 1-\cos (\phi)=2\sin ²\left(\frac{\phi}{2}\right) \end{eqnarray}$ beziehungsweise $\begin{eqnarray} 1+\cos (\phi)=2\cos ²\left(\frac{\phi}{2}\right) \end{eqnarray}$ Von der Seite $\begin{eqnarray} 1-\cos (\phi) \end{eqnarray}$ anzufangen hat mich nirgendwo hin gebracht. Von daher habe ich auf der anderen Seite angefangen: $\begin{eqnarray} 2\sin ²\left(\frac{\phi}{2}\right)=-\left(2\cos ²\left(\frac{\phi}{2}\right)-2\sin ²\left(\frac{\phi}{2}\right)-2\cos ²\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)\overset{\text{Additionstheorem}}{=}2\cos ²\left(\frac{\phi}{2}\right)-2\cos (\phi)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos ²\left(\frac{\phi}{2}\right)+\cos ²\left(\frac{\phi}{2}\right)+\sin ²\left(\frac{\phi}{2}\right)-\sin ²\left(\frac{\phi}{2}\right)-2\cos (\phi)\overset{\text{Additionstheorem}}{=}1-\cos (\phi) \end{eqnarray}$ Muss ich wirklich in zwei seperaten Schritten +-sin² machen oder geht das irgendwie kürzer? Bzw da die erste bereits vorhanden ist kürzer: $\begin{eqnarray} 2\cos ²\left(\frac{\phi}{2}\right)=2\left(\cos (\phi)+\sin ²\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)\overset{\text{Erste Halbwinkelformel}}{=}1+\cos (\phi) \end{eqnarray}$ Und dann noch: $\begin{eqnarray} A_r=\left[\frac{r}{2},2r\right];~\bigcup_{r>0}A_r\overset{\text{zZ}}{=}\mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Sei }x\in\bigcup_{r>0}A_r~\text{Dann ist }x\in\left[\frac{r}{2},2r\right]~\text{für mindestens ein }r\in\mathbb R_{>0}~\text{also} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq\frac{r}{2}\leq x\leq 2r~\text{und somit }x\in\mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Sei andererseits }x\in\mathbb R_{>0}~\text{so wählen wir }r=x~\text{und somit ist }x\in A_x=\left[\frac{x}{2},2x\right]~\text{denn }\frac{x}{2}\leq x\leq 2x~\forall x\in\mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ PS: ich hoffe ich hab mich nicht irgendwo vertippt
10.09.2009, 20:39	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, wenn ich es mal wieder zu verquastet aufgeschrieben habe. Wenn mir jemand sagt, welche Formulierungen zu umständlich sind kann ich versuchen, sie einfacher lesbar zu machen PS: $\begin{eqnarray} \cos (\phi+\theta)=\cos (\phi)\cos (\theta)-\sin (\phi)\sin (\theta) \end{eqnarray}$ ist glaube ich das einzige der beiden Additionstheoreme welches ich verwendet habe. Ausserdem ist $\begin{eqnarray} \sin ²(\phi)+\cos ²(\phi)=1 \end{eqnarray}$ Ich dachte es extra dazu zu schreiben wäre noch unübersichtlicher
11.09.2009, 00:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch auch das 2. Additionstheorem verwenden, damit geht es schnell und elegant: $\begin{eqnarray} \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------------------------------- $\begin{eqnarray} 1 = \cos 0 \quad x = 0, \ y = \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 - \cos \varphi = -2 \sin \frac \varphi 2 \sin (-\frac \varphi 2) = 2 \sin^2 \frac \varphi 2 \end{eqnarray}$ So! mY+
11.09.2009, 06:59	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum zweiten Beweis: Du vergisst ganz zu erwähnen, was das $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ sein soll, wo es herstammt. Ich glaube es ist gemeint, dass $\begin{eqnarray} r\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , das heisst man definiert sich eine Folge von Mengen $\begin{eqnarray} A_r:=\left[\frac{r}{2},2r\right] \end{eqnarray}$ und die Behauptung ist dann $\begin{eqnarray} \bigcup\limits_{r\in\mathbb N}A_r=\mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ . Dazu: Sei $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ beliebig. Wieso findest du nun ein passendes $\begin{eqnarray} r\in\mathbb N \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} \frac{r}{2}\leq x\leq 2r \end{eqnarray}$ ? [Hinweis: Archimedes hilft weiter]
11.09.2009, 07:50	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Archimedes würde, wie du gesagt hast, dann sofort sagen, dass ich das $\begin{eqnarray} 2r\geq x \end{eqnarray}$ finden würde. Hier ist aber $\begin{eqnarray} r\in\mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ was ich vergessen hatte explizit zu erwähnen. Ich dachte $\begin{eqnarray} \bigcup_{r>0}A_r \end{eqnarray}$ wäre da genug Zu dem anderen: Der Weg ist in der Tat bei weitem kürzer Danke euch ( der Smiley ist toll )
11.09.2009, 13:21	powersternchen**	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist das denn?dafür ist mein gehirn zu klein!!! ...naja wir ham das ja auch noch nich in der schule gemacht...
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11.09.2009, 15:01	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, da du sowas nun schon in mindestens zwei Threads gefragt hast, werde ich hier einmal versuchen zu antworten: Das meiste, was im Schulmathematik Forum gepostet wird ist in aller Regel für Personen, die das Fach beherrschen, nicht wirklich schwer. Man muss es jedoch dafür gelernt haben, denn niemand kann erwarten, dass ein Einzelner die gesamte Mathematik neu herleitet. Wenn du folglich diese Sachen noch nie gesehen hast, oder noch nicht mit dem Kapitel abgeschlossen hast, also noch am lernen bist, erscheinen diese Sachen wirr, schwer, nur für freaks oder ähnliches. Wenn du noch in der Schule bist, hast du normalerweise noch Jahre vor dir um den jeweiligen Stoff zu erlernen. Folglich solltest du nicht davor zurückschrecken, weil es komisch aussieht. Denn du hast mehr als genug Zeit, um es Stück für Stück zu verstehen. Aber halt nicht alles auf einmal. Dazu möchte ich noch eine gewisse Signatur zitieren: "Nicht weil es schwer ist, wagen wir es nicht, sondern weil wir es nicht wagen, ist es schwer." Wenn du über ein gewisses Thema, was hier angesprochen wird wirklich mehr erfahren willst, kannst du z.B. danach explizit fragen ( so wie "Dieses Zeichen habe ich noch nie gesehen, kann mir jemand erklären, zu welchem Themengebiet es gehört und was es bedeutet? Ein paar Literaturhinweise wären auch nett!" ). So etwas beinhaltet dann jedoch die Absicht, sich wohl mindestens ein paar Stunden mit dem Thema beschäftigen zu wollen ( was eine gute Sache ist! ). Dabei solltest du auch möglichst nicht in bereits existierende Threads hineinplatzt und vom eigentlichen Thema ablenkst. Dein Beitrag in der momentanen Form ist eine Aussage, die für den Rest der Benutzer wenig oder gar keine relevanten Informationen bietet. Versuche also möglichst, mit einem Beitrag irgendein bestimmtes Ziel zu verfolgen. Das ist jetzt nicht schlimm, aber bitte antworte nicht zu jedem Thread bei dem du das Thema nicht ganz verstehst "dafür ist mein gehirn zu klein!!!". Erstens glaube ich das nicht, auch du kannst das lernen, und zweitens ist es wie gesagt nicht besonders produktiv.
11.09.2009, 17:50	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
wesentlich kürzer gehts, wenn du mit der komplexen exponentialdarstellung arbeitest, denn dann stehts eigentlich sofort da.

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