Nachweis von Bijektivität

10.09.2009, 16:33

Black

Nachweis von Bijektivität

Wir haben auf einem Übungsblatt einige Aufgaben bekommen, bei denen wir nachweisen sollen ob eine Abbildung bijektiv, surjektiv, injektiv ist.

Leider wurde in der Vorlesung nur angesprochen, wie man nachweißt dass eine Abbildung nicht surjektiv, ...etc ist.
Wie kann ich beweisen dass eine Abbildung bspw bijektiv ist?

Als Ansatz wollte ich über die Monotonie gehen. Wenn eine Funktion streng monoton ist, muss sie doch injektiv sein? Und wenn sie darüber hinaus keinen Grenzwert besitzt, müssten doch alle Objekte der Bildmenge ein Urbild haben - die Abblidung als bijektiv sein?

Dann könnte man doch auch davon ausgehen, dass alle Geraden, mit einer Steigung $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ bijektiv sind?

10.09.2009, 16:57

Bakatan

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Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Folglich musst du einzeln Injektivität und Surjektivität nachweisen, dann ist sie auch bijektiv.
Wie sind denn die Definitionen von diesen beiden Eigenschaften?

PS: Ja, Monotonie ist auch etwas. Streng monotone Funktionen sind injektiv. Aber soweit ich weiss nicht zwangsläufig surjektiv.
PPS: tertium non datur. Ist eine Funktion nicht nicht injektiv, so ist sie zwangsläufig injektiv. Folglich solltest du wenn du mit deiner Methode des Beweises für "Funktion ist nicht injektiv" zum Wiederspruch kommst ebenfalls ohne Probleme Injektivität nachweisen können.

10.09.2009, 21:00

system-agent

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Was für Abbildungen hast du denn?
Bedenke: Die Sache mit der Monotonie kann man natürlich nur dann verwenden, wenn der Zielraum auch geordnet ist, also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Ansonsten nimmst du die Definition der Injektivität.
Um nachzuweisen dass etwas nicht injektiv oder surjektiv ist, gib ein Gegenbeispiel.

11.09.2009, 00:17

Black

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Gehe ich dann richtig in der Annahme, dass eine Gerade immer bijektiv ist?

11.09.2009, 02:34

mYthos

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Nein.
Betrachte einmal die Geraden, die zu den Koordinatenachsen parallel sind ...

Ausserdem stimmt deine Ausdrucksweise auch nicht: Eine Gerade kann nicht bijektiv sein. Du meinst wohl die Funktion, die eine Gerade beschreibt.

mY+

11.09.2009, 09:08

Black

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Ja, dass es zu den parallelen der Koordinatenachse nicht zutrifft ist mir klar (siehe 1. Beitrag), aber wenn ich nun $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\left(x\right) = ax + b \end{eqnarray*}$ , dann müsste die Abbildung doch für alle $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ bijektiv sein?

11.09.2009, 09:29

system-agent

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Ja das ist auch so. Nun beweise es.
Nutze dazu die Definition der Injektivität und Surjektivität.

11.09.2009, 09:42

Bakatan

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Kurze Zwischenfragen:
Wenn der Zielraum nicht geordnet ist, gibt es doch auch keine monotonen Funktionen?
und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow\mathbb C ;~f(x)=x \end{eqnarray*}$ wäre nicht surjektiv oder?
( Denke beides sollte stimmen, bin aber nicht sicher verwirrt

)

11.09.2009, 09:47

system-agent

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Zitat:

Original von Bakatan
Kurze Zwischenfragen:
Wenn der Zielraum nicht geordnet ist, gibt es doch auch keine monotonen Funktionen?
und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow\mathbb C ;~f(x)=x \end{eqnarray*}$ wäre nicht surjektiv oder?
( Denke beides sollte stimmen, bin aber nicht sicher verwirrt

)

Ja, man muss eine Ordnungsstruktur auf der Zielmenge haben um die Notion "Monotonie" zu definieren.
Und nochmal ja:
Es ist $\begin{eqnarray*} f(\mathbb R)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ [wobei diese Gleichheit in Anführungsstrichen zu lesen ist]. Zum Beispiel gibt es kein $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(p)=i \end{eqnarray*}$ .

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