L'Hospital und Anwendung / Verstehe Wikipedia Eintrag nicht komplett

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10.09.2009, 18:47	Eva-S	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital und Anwendung / Verstehe Wikipedia Eintrag nicht komplett Hi zusammen, folgendes habe ich bei wikipedia.de gefunden: ___________________ Sei $\begin{eqnarray} \ f(x) := \sin x + 2x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ g(x) := \cos x + 2x \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ liegt der Fall $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ vor. Die Regel von L’Hospital kann aber nicht angewandt werden, denn $\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{\cos x + 2}{-\sin x + 2} \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt. Trotz des Versagens der Regel von L’Hospital konvergiert $\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ . Es ist nämlich $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\cos x + 2x}\right)=1 \end{eqnarray}$ . ___________________ Das verstehe ich leider nicht genau. Kann man das vielleicht einfacher erklären? "Oben" steht es liegt der Fall $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ vor und unten ist dann $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \end{eqnarray}$ Die Umformung bzw. die Grenzwertbestimmung hier $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\cos x + 2x}\right)= 1 \end{eqnarray}$ versteh ich leider auch nicht ganz.
10.09.2009, 20:25	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau weiss ich es auch nicht, jedoch kann $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ irgendetwas sein. Zur Bestimmung benutzt man oft l'hospital, da es dabei zu einem besser bestimmbaren Ausdruck wird. Leider habe ich gerade zu wenig Zeit, mir die Umformung unten genauer anzusehen, für die Grenzwertbestimmung gilt jedoch: $\begin{eqnarray} \|\cos (x)\|\leq 1;~\|\sin (x)\|\leq 1;~\Big\| \frac{\sin (x)-\cos (x)}{\cos (x)+2x}\Big\| \leq \frac{c}{n} \end{eqnarray}$ für geeignetes c.
10.09.2009, 20:31	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Eva-S, Was genau verstehst du nicht? Das hier L’Hospital nicht funktioniert, liegt daran, das die Voraussetzung nicht gegeben ist, diesen Satz anwenden zu können. Um die Umformung zu verstehen, bilde einfach den Hauptnenner von beiden Summanden des schon umgeformten Ausdrucks und füge zusammen.
10.09.2009, 20:50	DarkD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L'Hospital und Anwendung / Verstehe Wikipedia Eintrag nicht komplett Hi, führ mal folgende Polynomdivision durch: $\begin{eqnarray} f(x) / g(x) \end{eqnarray}$ Dann wirst du leicht sehen, dass gilt: $\begin{eqnarray} f(x) / g(x) = \left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\cos x + 2x}\right) \end{eqnarray}$
10.09.2009, 21:34	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann man mit Sinus und Kosinus Polynomdivison durchführen?
10.09.2009, 21:36	DarkD	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie du es sonst auch machen würdest. Probier einfach mal. Und du weißt ja auch schon was rauskommen soll ;-)
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10.09.2009, 21:45	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, man muss nur das 2x ein wenig umstellen :P
11.09.2009, 18:52	EvaS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe keine Schimmer wie die Polynomdivision hier funktionieren soll um ehrlich zu sein... x^3 - 8 / x^2+1 usw ist kein Problem, aber das hier übersteigt derzeit noch meine Horizont.
11.09.2009, 22:14	DarkD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nen bisschen schwer in LaTeX code zu kodieren, aber ich probier es mal zu schreiben: (sin(x) + 2x) / (cos(x) + 2x) = ... so, das "rechte" passt jetzt erstmal eimal in das "linke" (sin(x) + 2x) / (cos(x) + 2x) = 1 + ... cos(x) + 2x --------------- sin(x) - cos(x) Und den Rest schreiben wir dann einfach hin: (sin(x) + 2x) / (cos(x) + 2x) = 1 + (sin(x) - cos(x)) / (cos(x) + 2x) cos(x) + 2x --------------- sin(x) - cos(x) Ich hoffe das Hilft.
12.09.2009, 05:30	EvaS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich denke das hat geholfen, obwohl ich so noch nie eine PD gemacht habe, aber es macht Sinn. Vielen Dank

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