Binomialentwicklung bei geraden u. ungeraden Potenzen verallgemeinern

23.09.2006, 21:55	w³	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialentwicklung bei geraden u. ungeraden Potenzen verallgemeinern Hi, hoffentlich ist die Frage nicht zu leicht - ist zumindest die letzte in diesem Kapitel über Binome. Mit Hilfe der Binomialentwicklung soll zusammengefasst werden (Hinweis: Fallunterscheidung bez. n = gerade oder ungerade) $\begin{eqnarray} (a + b)^{n} + (a - b)^{n} \end{eqnarray}$ 1. Fall "n = gerade": $\begin{eqnarray} 2[a^{n} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^{2}+\begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} a^{n-4}b{4}+...+\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^{0}b^{n}] \end{eqnarray}$ 2. Fall "n = ungerade": $\begin{eqnarray} 2[a^{n} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^{2}+...+\begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} a^{1}b^{n-1}] \end{eqnarray}$ Ich denke, der Autor will zeigen, dass wir bei einem geraden Exponenten eine ungerade Zahl an Gliedern haben und bei ungeradem Exponenten eine gerade Zahl Glieder haben. Frage: Wie berücksichtigt er beide Binome $\begin{eqnarray} (a+b)^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a-b)^n \end{eqnarray}$ in dieser Zusammenfassung? Mir scheint, als wäre der Term $\begin{eqnarray} (a-b)^n \end{eqnarray}$ da "nicht drin" und die 2* vor der Blocklammer dient nur dazu, gleiche Glieder wie z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kürzer zu bezeichnen. Danke schonmal!!
23.09.2006, 22:16	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Fangen wir mal von vorne an: $\begin{eqnarray} (a+b)^n+(a-b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^kb^{n-k} + \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^k(-b)^{n-k} =: S_k^n \end{eqnarray}$ . 1. Fall: n ist eine gerade Zahl. Dann ist $\begin{eqnarray} n-k \end{eqnarray}$ genau dann gerade, wenn $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gerade ist. Für diese $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist wegen $\begin{eqnarray} (-b)^{n-k} = b^{n-k} \end{eqnarray}$ der Term $\begin{eqnarray} S_k^n = 2\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}} {n \choose 2k} a^{2k}b^{n-2k} \end{eqnarray}$ . Für ungerade $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} S_k^n = 0 \end{eqnarray}$ . Der 2. Fall geht analog. Gruß, therisen

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