reelle Normalform einer normalen Matrix

11.09.2009, 10:03

frau holle

reelle Normalform einer normalen Matrix

Hallo zusammen,
hier ist eine Aufgabe mit der ich Probleme habe:

Bestimmen Sie für die normale Matrix C die reelle Normalform
$\begin{eqnarray*} R=T^{-1}CT<br /> \end{eqnarray*}$ zusammen mit der orthogonalen Matrix T, wobei

$\begin{eqnarray*} <br /> C=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} -2+\sqrt{2} & -2 & 2+\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 2 \\ 2+\sqrt{2} & -2 & -2+\sqrt{2} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich finde einfach nicht raus, was mit "reeller Normalform" gemeint ist.
Ist vielleicht eine Diagonalmatrix gemeint? Dann müsste ich ja bloß die Eigenwerte berechnen und für die orthogonale Matrix die zugehörigen EV berechnen. Geht das, auch wenn eine Matrix nicht symmetrisch ist?

Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

11.09.2009, 14:35

frau holle

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: reelle Normalform einer normalen Matrix
Ich habe hier mal das charakteristische Polynom:

$\begin{eqnarray*} p(\lambda )=\frac{1}{4}\lambda ^{2}+\lambda - \frac{9}{2} \sqrt{2} \lambda -\frac{21}{2} \end{eqnarray*}$

Muss ich vielleicht eine Hauptachsentransformation machen?

Laut wikipedia lassen sich durch die HAT Gleichungen in einer Normalform darstellen und Matrizen diagonalisieren.

Ich weiß noch nicht, wie das funktioniert, aber ich versuche es mal.
Hoffentlich bin ich nicht auf dem völlig falschen Dampfer.

12.09.2009, 08:49

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: reelle Normalform einer normalen Matrix

Zitat:

Original von frau holle
Ich finde einfach nicht raus, was mit "reeller Normalform" gemeint ist.
Ist vielleicht eine Diagonalmatrix gemeint? Dann müsste ich ja bloß die Eigenwerte berechnen und für die orthogonale Matrix die zugehörigen EV berechnen. Geht das, auch wenn eine Matrix nicht symmetrisch ist?

Für alle Matrizen ist das nicht möglich, aber alle (reelle, komplexe) normale Matrizen, wie diese hier (Warum ist diese Matrix normal?), sind über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ unitär diagonalisierbar . Und jede komplexe hermitsche Matrix und jede reelle symmetrische Matrix ist normal.
http://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Matrix

Das Problem an "reeller Normalform" ist, dass diese Matrix komplexe Eigenwerte hat. verwirrt

Dein char. Polynom ist übrigens falsch.

12.09.2009, 12:34

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Die reelle Jordansche Normalform hat auch eine andere Gestalt als die "normale" Jordansche Normalform: Siehe Wikipedia.

12.09.2009, 13:46

frau holle

Auf diesen Beitrag antworten »

Also C ist eine normale Matrix,denn

$\begin{eqnarray*} C^{H} \cdot C = C\cdot C^{H}<br /> \end{eqnarray*}$

oder kann man das auch irgendwie anders erkennen?

Mein charakteristisches Polynom ist jetzt

$\begin{eqnarray*} P(\lambda )=\frac{1}{4} \left[- \lambda ^3-4\lambda ^2+\left(16 \sqrt{2}-8\right) \lambda -64\right] \end{eqnarray*}$

Dabei bekomme ich einen reellen und zwei komplexe Eigenwerte.

Auf die Idee mit der Hauptachsentransformation kam ich deshalb, weil unter der Aufgabe noch steht
"Interpretieren Sie Ihr Ergebnis geometrisch"
und man ja über die Normalform aus der HAT auf die Hyperfläche schließen kann.
Wäre das eine Möglichkeit oder habe ich das falsch verstanden?

14.09.2009, 19:06

frau holle

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die reelle Jordansche Normalform hat auch eine andere Gestalt als die "normale" Jordansche Normalform: Siehe Wikipedia.

Danke, ich denke das ist genau das, was gesucht wurde Freude

Da wäre ich wohl nie alleine drauf gekommen...

Neue Frage »

Antworten »

reelle Normalform einer normalen Matrix

Verwandte Themen