Lyapunov-Funktion finden

11.09.2009, 10:47

Tati74

Lyapunov-Funktion finden

Hallo an alle,

ich bin gerade mit dem Räuber-Beute-System von Lotka und Volterra beschäftigt, aber für 3 Spezies, und suche dafür eine Lyapunov-Funktion.

Für das 2-dim. System

$\begin{eqnarray*} y_1' = ay_1 - by_1y_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2' = -cy_2 + dy_1y_2 \end{eqnarray*}$

gibt es die folgende

$\begin{eqnarray*} V (y_1; y_2) = by_2 - a ln y_2 + dy_1 - c ln y_1 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist mein Problem, wie sieht V für das 3-dim System aus

$\begin{eqnarray*} y_1' = ay_1 - by_1y_2 = f(y_1; y_2; y_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2' = -cy_2 + dy_1y_2 - ey_2y_3 = g(y_1; y_2; y_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_3' = -fy_3 + gy_2y_3 = h(y_1; y_2; y_3) \end{eqnarray*}$

Ich bin, auch mit Hilfe verschiedenster Literatur, auf diese Lyapunov-Funktion gekommen

$\begin{eqnarray*} V := \frac d b \cdot y_1 + \frac e g \cdot y_3^2 + y_2 - \frac c b \cdot \ln y_1 - \frac a b \cdot \ln y_2 \end{eqnarray*}$

Weiß aber nicht, ob die wirklich stimmt, da ich z.b. bei der Ableitung von V nicht 100%ig auf das komme, was ich gerne hätte, also V'>=0...

Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte!

MfG
Tati

edit(Abakus): Latex

13.09.2009, 16:37

Abakus

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RE: Lyapunov-Funktion finden
Erstmal willkommen im Forum,Tati74 Wink

Wenn du auf Lyapunov-Funktion testen willst, welche Eigenschaften müsstest du dann überprüfen und bei welchen steckst du davon fest? (bis wohin hast du hier gerechnet?) Was ist der Gleichgewichtspunkt?

Grüße Abakus smile

13.09.2009, 20:23

Tati74

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RE: Lyapunov-Funktion finden
Also V muss ja positiv definit sein, ist sie auf den ersten Blick ja auch, und V(0)=0 gilt.
Bei der Ableitung komme ich auch auf den Gleichgewichtspunkt (c/d, a/b, 0), aber wenn ich dann die 2.Ableitung bilde inkl. Jacobi-Matrix u am GG-Punkt auswerte, steht auf der Diagonalen eine Null, es muss aber ungleich Null sein wegen Maximum bzw. Minimum. Dadurch denke ich stimmt die Lyapunov-Funktion doch nicht :-(

Danke für die schickeren Gleichungen ;-)

MfG
Tati

14.09.2009, 12:48

Abakus

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RE: Lyapunov-Funktion finden

Zitat:

Original von Tati74
Ich bin, auch mit Hilfe verschiedenster Literatur, auf diese Lyapunov-Funktion gekommen

$\begin{eqnarray*} V := \frac d b \cdot y_1 + \frac e g \cdot y_3^2 + y_2 - \frac c b \cdot \ln y_1 - \frac a b \cdot \ln y_2 \end{eqnarray*}$

Also V müsste in einer Umgebung U deines Gleichgewichtpunktes $\begin{eqnarray*} (\frac c d, \frac a b, 0) \end{eqnarray*}$ positiv definit sein, d.h.:

$\begin{eqnarray*} V(\frac c d, \frac a b, 0) = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} V(x, y, z) \ge 0~\text{ für } (x, y, z) \in U \end{eqnarray*}$

Wenn nun zusätzlich $\begin{eqnarray*} \dot{V}(x(t)) \leq 0 \end{eqnarray*}$ für alle Lösungen des DGL-Systems $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ in U gilt, heißt $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine Lyapunov-Funktion (so meine Definition; hast du dieselbe?)

Nun ist:

$\begin{eqnarray*} V(\frac c d, \frac a b, 0) = \frac d b \cdot \frac c d + \frac e g \cdot 0^2 + \frac a b - \frac c b \cdot \ln \frac c d - \frac a b \cdot \ln \frac a b = \frac c b \cdot (1 - \ln \frac c d) + \frac a b \cdot (1 - \ln \frac a b) \end{eqnarray*}$

Das sieht schon ungleich 0 aus?

Grüße Abakus smile

14.09.2009, 17:54

Tati74

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RE: Lyapunov-Funktion finden
Gut bzw. schlecht unglücklich

Dann werd ich mich mal auf die Suche nach einer anderen machen...

Vielen Dank für deine Hilfe!

MfG
Tati

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