Satz über implizite Funktionen

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11.09.2009, 12:34	Elena87	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz über implizite Funktionen Hallo, Ich formuliere hier noch mal kurz den Anfang des Satzes über impl. Fktionen zur Klarstellung meiner Bezeichungen: Sei U Teilmenge von $\begin{eqnarray} Y\times Z \end{eqnarray}$ offen, $\begin{eqnarray} F\in C^{k}(U,Y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0 \in U \end{eqnarray}$ ein Punkt mit der Eigenschaft, dass das Differential $\begin{eqnarray} F'(x_0)\|_{Y\times {0}}:Y->Y \end{eqnarray}$ stetig invertierbar ist. Dann gilt:... ich frage mich, weshalb es notwendig ist, dass das DIfferential von F eingeschränkt auf Y an der Stelle x_0 invertierbar sein muss. Als Beispiel habe ich mir die Funktion F(y,z)=y^2 vorgestellt. Dann gilt F(0,z)=0. Dann kann ich doch nach G auflösen, das wäre im Grunde einfach die Nullfunktion. Das Differtial (also die partielle Ableitung nach y) 2y ist allerdings Null. Was geht hier also schief?
11.09.2009, 14:48	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F(y,z)=y^2 \end{eqnarray}$ ist nicht auflösbar. Lösungen von $\begin{eqnarray} F(y,z)=0 \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} (0,z_0)\quad,\quad z_0\in Z \end{eqnarray}$ . Hier siehst du doch schon, das es keine Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathcal U_{y=0}\to \mathcal U_{z_0} \end{eqnarray}$ geben kann mit $\begin{eqnarray} f(x)=z \end{eqnarray}$ , denn in $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ hätte die Funktion unendlich viele Zuweisungen, wäre also nicht eindeutig. Gruß
12.09.2009, 00:00	Elena87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, vielleicht schreibe ich gerade mal die Formulierung des (restlichen- Beginn s.oben) Satzes auf: ...Dann gilt: Es gibt Umgebungen Y' von y_0 in Y und Z' von z_0 in Z sowie eine Abb. $\begin{eqnarray} G\in C^k(Z',Y') \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} G(z_0)=y_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\{ (y,z)\in Y'\times Z'\|F((y,z))=F(x_0)\right\} =\left\{ (G(z),z)\|z\in Z'\right\} \end{eqnarray}$ . Bei dieser Formulierung ist es nicht so offensichtlich, oder? Ich dachte, wenn ich G als die Nullfunktion definiere, könnte ich die Gleichheit obiger Mengen mit geeignetem Z' erlangen. Inzwischen habe ich aber bemerkt, dass Z' ja offen ist und das mit der Nullfunktion dann nicht klappt, da sonst die rechte Menge größer ist als die linke. Allerdings ist mir trotzdem noch nicht ganz klar, warum ich mir kein anderes G basteln kann, das der obigen Gleichheit genügt. Würde mich freuen, wenn du mir nochmal weiterhelfen bzw. mir Rückmeldung geben könntest!
12.09.2009, 01:16	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die ganze Formulierung wäre besser gewesen . So habe ich für die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in meinem ersten Post, was in deiner Formulierung $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ darstellt, Definitionsbereich und Wertebereich verwechselt. Dennoch, legst du eine Umgebung um $\begin{eqnarray} y_0=0 \end{eqnarray}$ , welches hier $\begin{eqnarray} Y' \end{eqnarray}$ ist, so findest du darin Elemente ungleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , das widerspricht aber $\begin{eqnarray} 0\neq F((y,z))=F(x_0)=F((y_0,z_0))=F((0,z_0))=0 \end{eqnarray}$ . Gruß
12.09.2009, 11:36	Elena87	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du dein letztes Argument nochmal erklären? Wie soll das G bei dir jetzt aussehen? Du meinst also, dass ich in der rechten Menge Elemente finde, die nicht auf Null abgebildet werden, (es ex. z aus Z' mit F(G(z),z) ungleich null)? Mir ist das auch anschaulich noch gar nicht klar...
12.09.2009, 13:11	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige meinen zweiten Post. Da steht blödsinn, war schon spät. Dein Beispiel ist auflösbar und $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist auch stetig differenzierbar, da, wie du richtig geschrieben hast, $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ die Nullfunktion ist. Um deine Frage zu Anfang zu beantworten. Soweit ich weiß, ist die Invertierbarkeit vom Differential von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ein hinreichendes Kriterium, aber kein notwendiges, d.h. ist das Differential invertierbar, ist es sicher auflösbar, ist das Differential nicht invertierbar, kann es trotzdem auflösbar sein. Gruß
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12.09.2009, 17:58	Elena87	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön; das war's eigentlich auch, worauf ich hinaus wollte, als ich dieses Thema erstellte. Anschaulich ist mir das mit der Invertierbarkeit des Differentials allerdings noch nicht klar. Kennst du vielleicht ein Beispiel für eine Funktion F (mit nichtinvertierbarem Differential an der best. Stelle), an dem man gut erkennen kann, warum mir die Nichtinvertierbarkeit da Probleme bereitet. Ist jetzt vielleicht etwas vage ausgedrückt. Mein Problem ist eben, dass der Satz für mich noch nicht wirklich greifbar ist. Danke jedenfalls für deine Hilfe.
12.09.2009, 19:41	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. $\begin{eqnarray} F(x,y)=x^2-y^2 \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ nicht auflösbar. $\begin{eqnarray} H(x,y)=x^3-y^3 \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ auflösbar, sogar global mit $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ . Wenn wir von beiden die Jakobimatrix bilden, ergibt sich: $\begin{eqnarray} DF=\begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x & 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} DH=\begin{pmatrix} \frac{\partial H}{\partial x} & \frac{\partial H}{\partial y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x^2 & 3y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für beide sind die Differentiale nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , d.h. nicht invertierbar. Gruß
05.01.2010, 17:29	gnasen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eine Frage bzgl deines Beispiels: Wann genau ist eine Funktion auflösbar? Ich wüsste nicht, was ich bei F(x,y) = x^2-y^2 H(x,y) = x^2-y^3 auflösen könnte.

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