Hesse Matrix für f(x,y,z)?

Neue Frage »

12.09.2009, 16:21

EvaS

Auf diesen Beitrag antworten »

Hesse Matrix für f(x,y,z)?

Hi zusammen,

die Hesse Matrix für f(x, y) kenne ich.
Könnte mir jemand die für f(x, y, z) zeigen bitte?

12.09.2009, 16:39

ge88

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hesse Matrix für f(x,y,z)?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial^2}{\partial x \partial x}f & \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f & \frac{\partial^2}{\partial x \partial z}f \\ \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}f & \frac{\partial^2}{\partial y \partial y}f & \frac{\partial^2}{\partial y \partial z}f \\ \frac{\partial^2}{\partial z \partial x}f & \frac{\partial^2}{\partial z \partial y}f & \frac{\partial^2}{\partial z \partial z}f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.09.2009, 16:57

EvaS

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr! Freude

13.09.2009, 08:03

Eva-S

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich glaube ich auch endlich den Aufbau der Hesse Matrix aus der Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

Wenn ich diese noch ein bisschen erweitere (mit X3) und ich das richtig verstanden habe, müsste es doch so aussehen, richtig?

edit: zeigte aus unbekannten gründen die matrix hier nicht an
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_3}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\[,5em] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_3}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_2}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_3}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_n} \\[,5em] \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_3}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.09.2009, 10:54

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen du hast eine [mindestens 2mal partiell differenzierbare] Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Hessematrix $\begin{eqnarray*} H(f) \end{eqnarray*}$ an einem Punkt $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ definiert als das was bei Wikipedia steht, das heisst:
Zuerst leitet man die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ partiell nach allen möglichen Variablen ab und man bekommt
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n} \end{eqnarray*}$ [/latex]

Das sind natürlich selbst wieder Funktionen [da man noch nie von dem Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gesprochen hatte].

Nun leitet man jede einzeln nochmal nach jeder möglichen Variablen ab und man erhält:
[Für $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$ ]:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1},\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2},...,\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \end{eqnarray*}$

[Für $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2} \end{eqnarray*}$ ]:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1},\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2},...,\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \end{eqnarray*}$

usw.

und schliesslich für $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1},\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2},...,\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{eqnarray*}$

Dies sind alles Funktionen und die kann man bekanntlich an einem Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ auswerten und man bekommt
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(p) \end{eqnarray*}$ usw usw.

Dann stehen da überall Zahlen und diese schreibt man alle in eine Matrix und man bekommt was bei Wikipedia steht [nur dass dort noch nicht die Auswertung erfolgt war]. In der ersten Zeile stehen alle möglichen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$ , in der zweiten Zeile alle möglichen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2} \end{eqnarray*}$ etc.

Nehme nun eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Dann bekommt man $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3} \end{eqnarray*}$
und als jeweilige weitere partielle Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1},\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2},\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1},\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2},\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_1},\frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_2},\frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_3} \end{eqnarray*}$

Schreibe das Zeugs nun in die Matrix und Taufe sie Hesse-Matrix:
$\begin{eqnarray*} H(f)=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_3} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_3} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\partial x_3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.09.2009, 11:22

Eva-S

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte bisher immer nur Matrizen wie diese hier zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} H_f = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was mache ich wenn es z.B. so aussieht:
$\begin{eqnarray*} H_f = \begin{pmatrix} 4x & 1 \\ 1 & -6y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Setze ich dort dann die Werte der stationären Punkte ein die ich über das Lösen eines LGS bekommen habe?

13.09.2009, 11:38

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Mache dir klar, das es bei der Bestimmung von Extremwerten im Mehrdimensionalen von der Prozedur her fast genauso ist, wie im Eindimensionalen, nur das deine Ableitungen Matrizen sind, hier f'(x) die Jakobimatrix und f''(x) die Hessematrix.

13.09.2009, 11:56

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Eva-S
Ich hatte bisher immer nur Matrizen wie diese hier zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} H_f = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was mache ich wenn es z.B. so aussieht:
$\begin{eqnarray*} H_f = \begin{pmatrix} 4x & 1 \\ 1 & -6y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mach dir klar, dass man für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Funktionen in der Hessematrix auswerten kann. Hat man das noch nicht getan ist das eine nichtkonstante Matrix.
Man sollte da ein bischen pedantischer sein und
$\begin{eqnarray*} H(f)(p) \end{eqnarray*}$ schreiben anstelle von $\begin{eqnarray*} H(f) \end{eqnarray*}$ .

Deine erste Beispielmatrix ist entweder eine von einer Funktion, die nur konstante zweite partielle Ableitungen hat oder es wurde schon der zu betrachtende Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eingesetzt [d.h. alle Koeffizientenfunktionen der Matrix in dem Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ausgewertet].
Dein zweites Beispiel ist eines, bei dem die zweiten partiellen Ableitungen nicht alle konstant sind und der Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ noch nicht eingesetzt wurde.
Pedantisch sollte man dann schreiben $\begin{eqnarray*} H(f)(x,y) \end{eqnarray*}$ damit man es wirklich erkennt.

Das Gleiche hast du übrigens beim Gradienten:
Das ist ein Vektor, der alle erste partiellen Ableitungen als Koeffizienten hat.
Bildet man den Gradienten, kommen noch x und y darin vor, denn man hat noch keinen speziellen Punkt eingesetzt.
Nach dem Einsetzen hat man einen [konstanten] Vektor.
Und auch dort schreibt man
$\begin{eqnarray*} (\text{grad}\, f)(x,y) \end{eqnarray*}$
für den allgemeinen Gradienten und
$\begin{eqnarray*} (\text{grad}\, f)(1,2) \end{eqnarray*}$
für den Gradienten am Punkt $\begin{eqnarray*} p=(1,2) \end{eqnarray*}$ .

13.09.2009, 19:02

Eva-S

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Deine erste Beispielmatrix ist entweder eine von einer Funktion, die nur konstante zweite partielle Ableitungen hat.

Genau so ist es.

Verstehe ich das richtig:
Im zweiten Fall würde ich also die x/y Werte meines ermittelten Punktes nehmen und einsetzen.
Diese Werte setze ich dann in die Matrix ein und rechne mir anschließend dann die Determinante dieses Punktes aus, korrekt?

Zitat:

Original von system-agent
Pedantisch sollte man dann schreiben $\begin{eqnarray*} H(f)(x,y) \end{eqnarray*}$ damit man es wirklich erkennt.

Damit meinst Du, damit man erkennt das dies Funktionen sind und man dort noch die x/y Werte seiner ermittelten Punkte einsetzten muss?

13.09.2009, 20:14

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zweimal ja Freude

13.09.2009, 20:16

Eva-S

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Dir.
Ich werd' jetzt mal das TV Duell gucken.

Augenzwinkern