Wahrscheinlichkeitsberechnungen

13.09.2009, 11:34	Jeeenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsberechnungen Hallo Forum! 55% der Bevölkerung sind einer bestimmten Meinung.5 zufällig ausgesuchte Personen werden befragt.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass in der Stichprobe 0,1,2,3,4,5 Personen diese Meinung vertreten? Kann mir jemand bitte einen Tipp geben?Ich weiß überhaupt nicht,wie ich beginen soll. Vielen Dank im Voraus. Jenny
13.09.2009, 12:26	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du sowas schon mal gesehen? $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}p^kq^{n-k} \end{eqnarray}$
13.09.2009, 12:30	Jeenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja,so etwas habe ich schon mal gesehen.Ich kann aber damit nichts anfangen
13.09.2009, 12:52	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: Wenn du sagen wir mal 3 Treffer hast, ist die Wahrscheinlichkeit dafür doch pro einzelner Möglichkeit $\begin{eqnarray} 0,55^3\cdot 0,45^2 \end{eqnarray}$ denn es muss ja genau eintreten: ja, ja, ja, nein, nein - oder kürzer - 1, 1, 1, 0, 0. Jetzt hast du aber nur einen Fall. denn es könnte auch der erste nicht der Meinung sein, und trotzdem drei aus den restlichen vier: 0, 1, 1, 0, 1 wäre ein möglicher Fall hierfür. Die Wahrscheinlichkeit dafür wäre ebenfalls: $\begin{eqnarray} q\cdot p\cdot p\cdot q\cdot p=p³q²;~\text{mit }p=55%=0,55;~q=1-p=1-0,55=0,45=45% \end{eqnarray}$ Und das ist Formelmäßig bei fünf Stichproben und drei Treffern eben $\begin{eqnarray} p^kq^{n-k} \end{eqnarray}$ wobei k die Anzahl der Treffer ist und n die Anzahl der insgesamten Proben. Nachdem man das verstanden hat reduziert sich das eigentliche Problem auf: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei Treffer in fünf anzuordnen. Und das ist eben $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ Somit ist für jeden einzelnen Fall die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p^kq^{n-k} \end{eqnarray}$ und es gibt eben $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ solcher Fälle, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgend einer davon eintritt: $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}p^kq^{n-k} \end{eqnarray}$
13.09.2009, 13:08	Jeenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung Ich habe jetzt für 0,1,2,3,4 und 5 jeweils die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet. Die Wahrscheinlichkeiten müssen doch zusammen 1 ergeben oder ???
13.09.2009, 13:28	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder 0,1,2,3,4 oder 5 Personen dieser Meinung sind bei 5 Stichproben ist 1. Denn das sind alle möglichen Ereignisse, die es geben könnte. Es gilt allgemein: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}=(p+q)^n=1;~\text{für }q=1-p \end{eqnarray}$ Was z.B. mit Induktion beweisbar ist. Daraus folgt übrigens im fall n=2 die erste binomische Formel. Aber das nur so nebenbei: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^2\binom{2}{k}a^kb^{2-k}=\binom{2}{0}a^0b²+\binom{2}{1}a^1b^1+\binom{2}{2}a²b^0=a²+2ab+b²\overset{\text{laut Formel}}{=}(a+b)² \end{eqnarray}$ Die 1. binomische Formel ist jedoch durch simples ausmultiplizieren weitaus einfacher zu zeigen Die Weise ist bloß allgemeiner und zeigt eben die Form für $\begin{eqnarray} (a+b)^n \end{eqnarray}$
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13.09.2009, 13:32	Jeenny	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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