Warum ist der Schnittpunkt 2er Kreise eine Gerade? |
| 13.09.2009, 19:32 | Gammel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Warum ist der Schnittpunkt 2er Kreise eine Gerade? Ich habe heute einmal ein bischen mit Kreisgleichungen rumgerchnet. Ich hab z.B. den Kreis mit Mittelpunkt in (0|0) und Radius 5, also x²+y² = 25 und einen Kreis mit Mittelpunkt M in (8|6) und Radius 5, also (x-8)²+(y-6)²=25 Gleichsetzen der beiden Gleichungen liefert dann: y= -(4/3)x + (25/3) Ich frage mich gerade, wieso das Gleichsetzen beider Kreisgleichungen eine Gerade liefert? Gibt es dafür eine Erklärung? Ich sehe ja, dass die Gerade durch den Schnittpunkt (4|3) geht, aber warum kommt als Ergebnis des Gleichsetzens eine Gerade raus? |
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| 13.09.2009, 19:39 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie setzt du denn zwei Gleichungen gleich? Versuch es mal mit eine nach x oder y auflösen und in die andere einsetzen. Wenn du x²+y²=(x-8)²+(y-6)² setzt verschwindet deine Vorraussetzung des Radius=5 und somit bekommst du eben eine Gerade. edit: Ich wunder mich wieso ich nur einen Schnittpunt heraus bekomme und dabei hast du den Punkt so geschickt gewählt, dass der Abstand genau 10 ist... |
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| 13.09.2009, 19:43 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Gammel Die erhaltene Gerade ist NICHT die Schnittmenge der Lösungen beider Gleichungen. Das Gleichsetzen liefert nur die Information, dass die Schnittmenge vollständig in dieser Geraden enthalten ist - soviel erstmal dazu. Wenn in den beiden Kreisgleichungen statt 25 jeweils steht, dann führt das Gleichsetzen auf dieselbe Gerade, d.h. die ist unabhängig vom konkreten gemeinsamen Kreisradius . Und was beinhaltet dieses Gleichsetzen? Nun, dadurch bekommt man alle Punkte, die von (0,0) gleichweit entfernt sind wie von (8,6) - in der Geometrie nennt man das auch Mittelsenkrechte der Strecke von (0,0) nach (8,6). |
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| 13.09.2009, 19:57 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dabei hätte ich selbst noch eine Frage: Beim Auflösen der ersten Gleichung nach x bekomme ich ja zwei Werte heraus. Muss ich selber darauf kommen, dass der negative keinen Sinn ergibt oder wie mach ich das? Denn falls die Schnittpunkte auf der negativen Seite sind ergibt er ja plötzlich doch Sinn. |
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| 13.09.2009, 20:31 | Gammel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Arthur Dent: Danke, deine Antwort hat mir sehr geholfen. Thread könnte daher meinetwegen geschlossen werden. Danke nochmal! |
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| 14.09.2009, 01:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Bakatan Es muss unbedingt erst die lineare Gleichung mit einer der beiden Kreisgleichungen gleichgesetzt werden. Dabei sind immer beide daraus folgende Lösungen (x- oder y-Werte) relevant. Von Wichtigkeit ist nun, dass beide Werte nunmehr in die lineare Gleichung zurückeingesetzt werden, nicht etwa wieder in eine der beiden Kreisgleichungen! Diese Vorgangsweise wird sehr oft übersehen. Damit erhalten wir die beiden "richtigen" Schnittpunkte der Kreise, falls überhaupt welche (relle) existieren. mY+ |
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| 14.09.2009, 13:08 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort! Ich verstehe es wohl leider aber immer noch nicht ganz. Was ist mit der "linearen Gleichung" gemeint? Man hat doch nichts ausser den beiden Kreisgleichungen? Da der Thread noch keine kompletten Rechenwege enthielt, konnte ich meine Frage wohl nicht ganz ausführlich beschreiben. Da die eigentliche Frage des Threads aber beantwortet ist, will ich es nochmal genauer versuchen ( auch wenn ich die resultierenden x-Werte wieder in die andere Kreisgleichung eingesetzt habe, was ich soweit ich es verstanden habe gerade nicht tun sollte ): Zum berechnen der Schnittpunkte würde ich nun 1. nach x auflösen und in 2. einsetzen. Dabei bekomme ich jedoch bereits zwei Werte: ( Es wird schließlich für zwei x Werte der selbe y Wert erreicht ) Wobei in diesem Fall nur der positive einen Sinn ergibt, denn einsetzen in 2. ergibt: und da die beiden Mittelpunkte mit Abstand 10 gewählt wurden y=3; x=4. Wobei hier theoretisch erneut zwei Lösungen herauskommen würden, was auch klar ist, da theoretisch zwei Schnittpunkte existieren können. Hier meine Frage: Mit den zwei Fallunterscheidungen bekomme ich am Ende vier Lösungen. Davon können jedoch ( solange die Kreise nicht identisch sind ) nur zwei stimmen. Muss ich dabei logisch erschließen, welche das sind? Es muss doch einen mathematischen Hintergrund geben, nach dem entweder die einen oder die anderen Lösungen auszuwählen sind? In diesem Fall z.B. ergibt die negative Lösung für x keinen Sinn. Muss ich, um das festzustellen, trotzdem alles ausrechnen? Oder kann man irgendwie bereits vorher begründen, weshalb sie nicht funktionieren kann? |
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| 14.09.2009, 19:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Problem entsteht aus der Tatsache, dass es im Kreis zu einem x-oder y-Wert (infolge der Wurzel) im Allgemeinen immer zwei y- oder x-Werte gibt. Wenn man vom Schnittpunkt waagrecht oder senkrecht die Parallelen zu den Koordinatenachsen zieht (und dies passiert, wenn man in die Kreisgleichungen anstatt in die Schnittgerade einsetzt), würde man deswegen eben auch "falsche" Punkte erhalten. Dies kann durch produktivere Umformung des System umgangen werden: Die lineare Gleichung entsteht durch Subtraktion der beiden Kreisgleichungen. Ausschließlich mit dieser und einer der beiden Kreisgleichungen musst du weiterrechnen. Dann die x- oder y-Werte immer nur in die lineare Gleichung einsetzen. Somit entstehen erst gar nicht die Probleme der geschilderten Art und du bekommst sofort die richtigen Punkte. Aber das habe ich dir schon im vorigen Beitrag geschrieben .. mY+ |
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| 14.09.2009, 19:30 | Bakatan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank!
Das war der entscheidende Punkt, wobei der Rest für das Verständnis ebenfalls von Nutzen war. Ich hatte nicht begriffen, dass es so auch geht. Ich denke es ist mir nun klar. |
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