Diagonalisierbarkeit einer Matrix |
14.09.2009, 10:46 | kerrl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diagonalisierbarkeit einer Matrix A= Ist diese Matrix diagonalisierbar, d.h. existiert ein ? Meine Fragen: 1. A ist symmetrisch, ist sie daher diagonalisierbar? 2. Wie kann ich die Abbildungsmatrix T ermitteln? Gruss |
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14.09.2009, 11:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix Bestimme die Eigenvektoren. |
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14.09.2009, 11:59 | kerrl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch ergibt sich das charakteristische Polynom . Also folgende Eigenwerte: Die Eigenvektoren: Mit Mit Mit Und dann? |
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14.09.2009, 12:31 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast eine symmetrische Matrix A gegeben. Hier ist die Sache noch einfacher als im allgemeinen Fall einer allgemeinen Matrix. Bestimme zuerst die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von A, indem du das Eigenwertproblem löst. Die Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind bei symmetrischen Matrizen automatisch senkrecht zueinander. Gehören zu einem Eigenwert mehrere Eigenvektoren, kann man diese orthogonalisieren. Tue dies, so das Du 3 orthoganale Eigenvektoren hast! Diese 3 einzelnen Eigenwertgleichungen kann man zu einer einzigen Matrixgleichung wie folgt zusammenfassen. Dabei haben wir die senkrechten Eigenvektoren mit k=1,2,3 als die Zeilen einer Matrix geschrieben. Diese Matrix ist gerade die gesuchte Matrix T!!! Dies kann man sich schnell klarmachen, indem man die letzten Gleichung mit der Matrix multipliziert. Dann ergibt sich nämlich Da die Eigenvektoren wie gesagt senkrecht stehen, stehen die Zeilen bzw. Spalten der Matrix senkrecht. Deshalb vereinfacht sich die rechte Seite zu Die rechte Seite ist ein Produkt zweier Diagonalmatrizen und damit ebenfalls eine Diagonalmatrix - wie es sein soll. Wir sehen, die gesamte Transformation beruht auf der Tatsache, dass die Eigenvektoren der gegebenen Matrix A senkrecht stehen. |
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14.09.2009, 13:46 | kerrl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, das war genau der Hinweis den ich brauchte!
Obwohl ich eine symmetrische Matrix A habe, sind meine Einheitsvektoren für und nicht orthogonal zueinander, sondern identisch. Deutet dies auf einen Rechenfehler hin? |
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14.09.2009, 15:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der Tat. Wie jedermann weiß, sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten auch immer verschieden. |
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14.09.2009, 15:10 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt, die Eigenvektoren sind nur dann automatisch orthogonal, wenn sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören. Mitunter gehören zu einem Eigenwert aber mehr als ein Eigenvektor - z.B. 2 Stück. Man sagt dann, dieer Eigenwert hat die Vielfachheit 2. Diese 2 Eigenvektoren sind dann untereinander nicht mehr automatisch orthogonal. Da aber alle Linearkombinationen dieser beiden Eigenvektoren wiederum Eigenvektoren zu diesem einen Eigenwert sind, spannen diese Eigenvektoren einen 2-dimensionalen Vektorraum auf - den sogenennten Eigenraum, der hier die Dimension n=2 hätte. Es ist nun nicht schwer, aus den beiden nichtorthoonalen Eigenvktoren zwei Linearkombinationen zu bilden, die untereinander senkrecht stehen. So bekommt man auch zu diesem einen Eigenvektor zwei senkrechte Eigenvektoren. |
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14.09.2009, 15:42 | kerrl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit dem Gram-Schmidt-Verfahren kann ich 3 orthogonale und normierte Vektoren ermitteln. |
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14.09.2009, 17:18 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beim ersten Eigenvektor hast du einen Rechenfehler. So sollte ein Eigenvektor zum EW aussehen: Wenn normal ist (symmetrische/hermitsche Matrizen sind das), ist unitär diagonalisierbar. Dh, die Spalten von der Matrix bilden ein Orthonormalsystem bestehend aus Eigenvektoren. Wie schon gesagt, sind diese Eigenvektoren bereits orthogonal zueinander. Dh, du musst sie nur mehr normieren. |
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