Die menge der Äquivalenzklassen G/[G,G] ist abelsch

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Zadu Auf diesen Beitrag antworten »
Die menge der Äquivalenzklassen G/[G,G] ist abelsch
Hallo,

Der Tietel ist mein Problem:

Sei G eine Gruppe und [G,G] die Kommutatoruntergruppe von G. Beweisen Sie das [G,G] ein Normalteiler von G ist, Beweisen Sie weiterhin, dass G/[G,G] eine abelsche gruppe ist.

zum ersten teil:

Ich habe es so probier, sei g element G und belibig

dann ist

wenn ich nun noch einmal a*b=c definiere so finde ich womit nun der erste teil erledigt währe allerdings weis ich nicht ob ich das so darf, schließlich habe ich das kommutativgesetz benutzt und ich bin mir nicht sicher, ob das so einfach geht.

Für den zweiten Teil fehlt mir noch jede Idee

schon mal danke im Vorraus für jede hilfe
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die menge der Äquivalenzklassen G/[G,G] ist abelsch
Hi Zadu,

Kommutativität kannst Du hier nicht verwenden, denn wenn die Gruppe kommutativ ist, dann ist ja auch und die Aufgabe wird trivial.
Im allgemeinen ist .


Bei dieser Aufgabe kann man aber sehr schön sehen, was Kommutatoren eigentlich sind. Es ist ja:

der Kommutator ist also das Element, welches und vertauscht.

Wie hilft uns das hier? Nun, das Element lässt sich erst mal nicht so einfach als Kommutator schreiben, wenn man allerdings links und vertauschen würde, dann schon.

Also:
1. Wie lässt sich als Kommutator schreiben?
2. Wie hilft das weiter?


Zur zweiten Aufgabe:
(Sei die Kommutatorgruppe)

Nimm zwei beliebige Elemente und zeige, dass ist. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die menge der Äquivalenzklassen G/[G,G] ist abelsch
Zitat:
So ähnlich von Zadu
sei und beliebig


Nur als kleine Anmerkung (zusätzlich zu den vielen Fehlern, auf die Reksilat schon hingewiesen hat): [G,G] besteht nicht aus Kommutatoren, sondern aus endlichen Produkten von solchen...
Zadu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

man kann zwar als kommutator [a,gb] angeben aber ich sehe nicht wie mir das weiter helfen soll.

aber die schreibweise hatte mich auf eine andere Idee gebracht da kann ich folgendes machen:



womit der erste Teil erledigt währe; trotzdem interessiert mich noch der andere Weg, den sehe ich nähmlich nicht.

für den zweiten Teil hatte ich folgende Idee:
Seinen a,b Element G
da [a,b], [b,a] element [G,G] und [G,G] eine gruppe ist gilt [b,a]*[G,G] =[G,G] [b,a]= [G,G]
=> [G,G] *ab = [G,G] *[b,a]*ab=[G,G] * ba

aber erstens sieht das einfach nicht schön aus, nur so vom Gefühl her
und selbst wenn das stimmen sollte würde mich interessieren, wieso ich damit unbedingt bewiesen habe die Menge der Äqivalenzklassen von [G,G] abelsch ist. Ihr seht ich bin noch nicht so hinter die Äqivalenzklassen gestiegen, vielleicht komme ich ja weiter wenn ich das hier verstanden habe.

Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Gruß, Reksilat.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das stimmt alles(auch wenn ich die lange Rechnung nicht durchgeschaut habe, das Ergebnis passt Augenzwinkern ).

Allgemein gilt für Automorphismen dass .
Das ist so allgemein meiner Meinung nach sogar einfacher auszurechnen.

Zum zweiten Teil:
Da Normalteiler ist gilt . Damit hast du also mit die Kommutativität gezeigt.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Als Nachtrag: Das Element lässt sich nicht als Kommutator schreiben, wohl aber . Nun sieht man schnell, dass ist und damit folgt aus den Untergruppeneigenschaften der Kommutatorgruppe auch schon .

Gruß,
Reksilat.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Als Nachtrag: Das Element lässt sich nicht als Kommutator schreiben,

verwirrt Zadu hat das doch weiter oben auf folgende Art und Weise gemacht:

.

Siehe auch kistes Bemerkung, die für jeden Homomorphismus korrekt ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

War nur wegen Zadus Nachfrage:
Zitat:
...trotzdem interessiert mich noch der andere Weg, den sehe ich nämlich nicht.


Das Element lässt sich natürlich als Kommutator schreiben, aber eben nicht direkt, sondern erst mit cleveren Erweiterungen. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok so war das gemeint, sorry. smile
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