ableitung zusammenfassen - produktregel

14.09.2009, 16:14

nnn

ableitung zusammenfassen - produktregel

hallo es geht um ein immer wieder auftauchendes Problem beim zusammenfassen von potenzen.

hier ein einfaches beispiel , wo man ableitung bilden soll mit hilfe der produktregel

f(x)= x²* $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

ich habe dann ableitungen ect. gebildet dann produktregel angewendet
dann komme ich auf

5x+x² / 2 $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

das soll nun zu 5/2 *x $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ umgewandelt werden

mein immer wieder auftauchendes problem ist, dass ich nicht weiß was aus dem x² wird, wenn ich die 2 $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ hoch hole

es müsste dann doch eigentlich x^2- 1/2 sein also letztendlich x^3/2 aber das sieht und hört sich natürlich doof an nur ne andere idee hab ich hier nicht Big Laugh

danke für die hilfe

14.09.2009, 16:29

Omicron

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ich glaube deine ableitung ist nicht ganz richtig ;-)

14.09.2009, 16:38

Bakatan

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Ja, die Ableitung ist nicht richtig. Das kann man sofort sehen an
$\begin{eqnarray*} x²\sqrt x=x^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$ Mit ableiten ohne Produktregel.

14.09.2009, 16:45

nnn

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RE: ableitung zusammenfassen - produktregel
hö
mein lösungsbuch sagt zu der aufgabe, dass das rauskommt:

2x $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ + x²/2 $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

und das wird zu

5/2 * x $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

und wie gesagt versteh ich nicht wie die das zusammenfassen, bzw. was mit der x² passiert.

14.09.2009, 16:49

Omicron

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na schön dann hast du falsch zusammgefasst ;-)

versuch mal die wurzeln als potenzen umzuschreiben und dann mit den potenzgesetzen zusammenzufassen

14.09.2009, 16:54

Bakatan

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Besser wäre übrigens x²/(2 $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ ) oder am besten $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{2\sqrt x} \end{eqnarray*}$ Denn ganz ohne Klammern ist es zwar verständlich, aber resultiert eigentlich in $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{2}\sqrt x=\frac{x²\sqrt x}{2} \end{eqnarray*}$
Bedenke bei so etwas immer, dass $\begin{eqnarray*} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Der Rest besteht dann aus Potentgesetzen. Falls du die nicht kennst, frag nochmal nach oder schau auf Wikipedia Augenzwinkern

14.09.2009, 17:17

nnn

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Zitat:

Original von Bakatan
Bedenke bei so etwas immer, dass $\begin{eqnarray*} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Der Rest besteht dann aus Potentgesetzen. Falls du die nicht kennst, frag nochmal nach oder schau auf Wikipedia Augenzwinkern

tut mir leid, dass ich es etwas kompliziert abgetippt habe
ich kenne die potenzgesetze aber versteh das trotzdem nicht

es ist ja 5/2(x)( $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ )

und wo ist da die x² hin?

ich muss ja die $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ unterm bruchstrich hochholen, dann wird aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ also x^-1/2 und dann muss ich das mit x² zusammenziehen also mal nehmen und bei potenzen nimmt man mal so: a^m * a^n = a^m+n

also in meinem falle: x^2+(-1/2) = x^3/2

oder nicht?

14.09.2009, 17:36

Bakatan

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Mal wieder: Klammern. x^2+(-1/2) ist nicht dasselbe wie das von dir erwünschte x^(2-(1/2)).
Abgesehen davon verstehe ich dein Problem nicht. Du hast doch sogar mittlerweile selbst ausgerechnet, dass $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{2\sqrt x}=\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
Was ist denn dementsprechend $\begin{eqnarray*} 2x\sqrt x \end{eqnarray*}$ ? Dann addierst du beides und kommst super auf das Ergebnis?

14.09.2009, 18:24

floriankr

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Dein Lösungsbuch stellt das aber recht kompliziert dar. Ich hätte das so gelöst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\cdot\sqrt{x}=x^2\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt benütze $\begin{eqnarray*} p(x)=x^n \Rightarrow p'(x)=n\cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$ . So ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{5}{2} \cdot x^{\frac{5}{2} - 1}=\frac{5}{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}=\frac{5}{2}x\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 17:07

nnn

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ich dank dir für die antwort. jetzt kapier ich es Big Laugh

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