Rekursion 2. Ordnung

14.09.2009, 18:39

Gaast

Rekursion 2. Ordnung

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit Rekursionen und hab mal ein bisschen rumprobiert, zB

$\begin{eqnarray*} a_n=(n-1)a_{n-1}-(n-2)a_{n-2} \ ; \ a_1=a \ , a_2=b \end{eqnarray*}$

Hab standardmäßig durchgerechnet:

$\begin{eqnarray*} a_n=q^n ... q_1=n-2 q_2=1\\ a_n=A\cdot q_1^n+B\cdot q_2^n\\ a_2=B=b a_1=-A+B=a \rightarrow A=b-a \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} a_n=(b-a)\cdot (n-2)^n+b \end{eqnarray*}$

Das kann aber nicht stimmen...

Setzt man zB n=4
dann wäre nach der Formel:
$\begin{eqnarray*} a_4=(b-a)2^4+b \end{eqnarray*}$

wenn ich aber durch die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ ausrechen komme ich auf

$\begin{eqnarray*} a_4=4b-3a \end{eqnarray*}$

Hab ich einen Fehler eingebaut oder funktioniert hier der Ansatz nicht?

Grüße

14.09.2009, 21:01

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Zitat:

Original von Gaast
oder funktioniert hier der Ansatz nicht?

Der Ansatz $\begin{eqnarray*} a_n = q^n \end{eqnarray*}$ funktioniert primär nur bei Differenzengleichungen mit konstanten, d.h. von n unabhängigen Vorfaktoren - das ist hier offensichtlich nicht der Fall. unglücklich

Nein, da musst du dir was anderes einfallen lassen.

14.09.2009, 21:05

Gaast

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein, da musst du dir was anderes einfallen lassen.

Zum Beispiel? Big Laugh

Erzeugende Funktionen?

14.09.2009, 21:08

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Z.B. das: Aus der Rekursionsgleichung folgt $\begin{eqnarray*} a_n-a_{n-1} = (n-2)(a_{n-1}-a_{n-2}) \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} b_{n-1} = (n-2)b_{n-2} \end{eqnarray*}$

für die Hilfsfolge $\begin{eqnarray*} b_n = a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ . Für die ergibt sich somit direkt die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} b_n = (n-1)! \cdot b_1 = (n-1)! \cdot (b-a) \end{eqnarray*}$

und folglich dann

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a + (b-a)\cdot \sum_{k=0}^{n-2} k! \end{eqnarray*}$

14.09.2009, 21:13

Gaast

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Z.B. das: Aus der Rekursionsgleichung folgt $\begin{eqnarray*} a_n-a_{n-1} = (n-2)(a_{n-1}-a_{n-2}) \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} b_{n-1} = (n-2)b_{n-2} \end{eqnarray*}$

für die Hilfsfolge $\begin{eqnarray*} b_n = a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ . Für die ergibt sich somit direkt die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} b_n = (n-1)! \cdot b_1 = (n-1)! \cdot (b-a) \end{eqnarray*}$

und folglich dann

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a + (b-a)\cdot \sum_{k=0}^{n-2} k! \end{eqnarray*}$

aaah, ich bin blind....

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-2} k! \end{eqnarray*}$ hätte man erkennen müssen Hammer

Danke

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