Nichtkanonischer Isomorphismus endlicher Körper |
14.09.2009, 19:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nichtkanonischer Isomorphismus endlicher Körper Kann mir jemand sagen, wie man in diesem Fall (und vielleicht sogar allgemeiner für endliche Körper) einen Isomorphismus explizit konstruiert ? |
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14.09.2009, 21:58 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider weiss ich nicht ob meine Idee zielführend ist, aber ich wäre so vorgegangen: Beide Versionen von sind auch jeweils ein zweidimensionaler -Vektorraum mit Basis bzw wobei eine Nullstelle von und eine Nullstelle von ist. Dann setze durch [da auf konstant sein soll]. |
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15.09.2009, 09:37 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@system-agent Bei deiner Abbildung wäre insbesondere Wäre also tatsächlich ein Isomorphismus, so hätte man dann d.h. wäre ebenfalls Nullstelle von , was aber nicht zutrifft. |
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15.09.2009, 10:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Elvis Wenn ich die von system-agent eingeführte Notation verwende, so gilt jedoch d.h. ist primitives Element, ist es nicht. Bei einem Isomorphismus müssen aber natürlich primitive Elemente auf primitive Elemente mit dem gleichen Minimalpolynom abgebildet werden. Wenn man umgekehrt im ersten Körper ein findet, für das ebenfalls gilt sollte es dann mit der durch definierten Abbildung dann auch klappen. |
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15.09.2009, 18:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, das klappt prima, bei der Rechnung haben mir auch die Gruppentafeln der Multiplikation geholfen. Man sieht dann sehr schnell daß und die beiden Nullstellen von sind. Damit definiere ich den Isomorphismus durch . Es ist dann . Mit ein bißchen Rechnung ergibt sich und und nur im letzten Rechenschritt braucht man , der Rest ist trivial. Nochmals vielen Dank, jetzt habe ich ein schönes Beispiel, nach dem ich doch immerhin ein paar Tage gesucht habe. Lässt sich diese Konstruktion zu einem Prinzip erheben, ungefähr so ? Man nehme ein erzeugendes Element mit und bilde es ab auf ein Element für das gilt. |
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15.09.2009, 20:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn f(x) das Minimalpolynom von über dem Primkörper war, ist das sicher richtig. |
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16.09.2009, 18:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, und weil man weiß, daß die Körper unabhängig von der Konstruktion isomorph sind, muß es immer passende Nullstellen in jedem dieser Körper geben. Sind (einige) endliche Körper in der Literatur oder im Internet tabelliert ? Gibt es Tabellen von irreduziblen Polynomen vorgegebenen Grades über und explizite Beschreibungen dieser Isomorphismen, oder so etwas wie "Kochrezepte" ? |
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16.09.2009, 19:48 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nachfolgender Link Handbook of Applied Cryptography, Chapter 4 sollte eigentlich in dem Abschnitt über irreduzible Polynome über alle Fragen ebendiese betreffend beantworten. Speziell für p=2 gibt's übrigens die berühmte Vermutung, dass man auf der Suche nach irreduziblen Polynomen mit höchstens 5 Monomen stets auskommt. |
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16.09.2009, 20:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke. |
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17.09.2009, 19:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korollar: Jeder endliche Körper enthält alle Nullstellen aller Polynome n-ten Grades. Weiß das sowieso jeder außer mir, oder können wir das "Satz von Elvis" nennen ? Oder ist das gar nicht wahr ? |
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17.09.2009, 20:05 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet, aber x^3+x^2+x sollte über F_8 keine Nullstelle haben(außer natürlich 0). Aber ich vermute mal stark wenn man n durch n! ersetzt dass es passt. |
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17.09.2009, 21:14 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist wahr, aber leider auch ein alter Hut... Die Minimalpolynome n-ten Grades über teilen ja alle das Polynom und dieses zerfällt in bekanntlich vollständig in Linearfaktoren... Und ja, das Beispiel von Kiste ist falsch, denn sein Polynom zerfällt ja sogar schon über in Linearfaktoren... Edit: Sorry, gilt nur für IRREDUZIBLE Polynome n-ten Grades in dieser Form...Das Beispiel von Kiste ist zwar falsch, aber man muss deine Behauptung schon insofern einschränken, als nur die irreduziblen Polynome, deren Grad m ein Teiler von n ist, über vollständig zerfallen... |
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17.09.2009, 21:39 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ist heute offenbar nicht mein Tag... Das Beispiel von Kiste und was er sonst gesagt hat ist natürlich richtig und die Begründung habe ich ja auch selbst oben gegeben... Aus der Lösbarkeit in folgt natürlich nicht die in ... |
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18.09.2009, 19:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke ... da kann man gar nicht lange genug drüber nachdenken ... |
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19.09.2009, 12:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klar ist : . Und das Gegenbeispiel von Kiste habe ich auch nachgerechnet. hat 0 als Nullstelle, der quadratische Faktor hat keine Nullstelle in . Bleibt immerhin "der kleine Satz von Elvis ": Jeder endliche Körper enthält alle Nullstellen aller irreduziblen Polynome n-ten Grades. |
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19.09.2009, 14:05 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so habe ich das auch zunächst gelesen und daher auch meine ursprünglich zustimmende Antwort auf dein Posting weiter oben, bis mir dann langsam gedämmert ist, dass du die Irreduzibilität von f(x) ja gar nicht vorausgesetzt hattest. Ich würde übrigens deinen obigen Satz eine Spur allgemeiner so formulieren: Genau dann zerfällt ein Poynom n-ten Grades in vollständig in Linearfaktoren, wenn alle irreduziblen Teiler von f(X) in einen Grad haben, der n teilt. Dies trifft insbesondere dann zu, wenn selbst schon irreduzibel ist. |
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19.09.2009, 14:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das gefällt mir, danke. Irreduzible Faktoren vom Grad zerfallen ja schon in . |
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