Kombination oder Variation? - Auswahl Torwart 1,2,3 aus 12 Personen

14.09.2009, 19:55

matawis

Kombination oder Variation? - Auswahl Torwart 1,2,3 aus 12 Personen

Hi, mein erster Post hier Augenzwinkern

da ich in der Berufsoberschule (Fachabi) keine Kombinatorik hatte und der Mathe Prof das Thema in einer Vorlesung durchgezogen hat, möchte ich mit der Aufgabe prüfen ob ich das richtig verstanden habe.
Könnt ihr mir bitte sagen, ob das richtig ist?

Folgende Aufgabenstellungen:

Einem Trainer einer Fußballnationalmannschaft stehen als Möglichkeiten für die Besetzung des Posten eines Torwarts 12 Personen zur Verfügung.

a) Auf wie viele Arten kann er einen ersten Torwart, einen ersten Ersatzmann und einen zweiten Ersatzmann aus diesen 12 geeigneten Personen auswählen?

Meine Annahme: Variation ohne Wiederholung, da die Reihenfolge der Ausgewählten relevant ist.
Berechnung:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{N!}{(N-K)!} \end{eqnarray*}$

Meine erste Latex Formel

$\begin{eqnarray*} A = \frac{12!}{(12-3)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1320 \end{eqnarray*}$

b) Auf wie viele Arten kann er drei Personen als Torhüter aus den 12 Personen auswählen? - die Entscheidung, wer im Tor steht, wer als erster Austauschtorwart und wer als zweiter Austauschtorwart benannt wird, fällt erst bei Spielbeginn und wird hier nicht beachtet.

Meine Annahme: Kombination ohne Wiederholung, da die Reihenfolge hier nicht relevant ist.

$\begin{eqnarray*} A = \frac{N!}{(N-K)! \cdot K!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{12!}{(12-3)!\cdot3!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 7920 \end{eqnarray*}$

c) Auf wie viele Arten kann er einen ersten Torwart und zwei Ersatztorwarte aus diesen 12 geeigneten Personen auswählen? - wer von den beiden Ersatztorwarten 1. oder 2. Ersatzmann wird, fällt erst bei Spielbeginn und wird hier nicht beachtet.

Meine Annahme: Kombination mit Wiederholung, da zwei Ersatztorwarte gewählt werden

$\begin{eqnarray*} A = \frac{(N+K-1)!}{(N-1)! \cdot K!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{(12+3-1)!}{(12-1)! \cdot 3!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 13104 \end{eqnarray*}$

14.09.2009, 20:02

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RE: Kombination oder Variation? - Auswahl Torwart 1,2,3 aus 12 Personen

Zitat:

Original von matawis
a)

$\begin{eqnarray*} A = \frac{12!}{(12-3)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1320 \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von matawis
b)

$\begin{eqnarray*} A = \frac{12!}{(12-3)!\cdot3!} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von matawis
$\begin{eqnarray*} A = 7920 \end{eqnarray*}$

Falsch - was hast du denn hier gerechnet? Etwa die 3! in den Zähler verschoben? geschockt

Die c) ist - abgesehen von diesem erneuten seltsamen Rechenfehler - auch bereits vom Zugang her falsch: Es ist hier KEINE Mehrfachwahl (bzw. "Wiederholung") möglich - das wäre so, als würde Jogi Löw für die WM die drei Torhüter

Adler , Adler , Neuer

nominieren und damit einen Platz verschenken... was er sicher nicht tun wird. Augenzwinkern

14.09.2009, 20:18

matawis

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Danke!

Erstmal zu b)
Da habe ich die Klammern im Taschenrechner nicht gesetzt Hammer

Es sollte
220 rauskommen.

c)
Deine Begründung ist logisch... Es sind ja nicht zwei identische Torwarte vorhanden.
d.h. Kombination ohne Wiederholung

Das müsste dann aber eigentlich die gleiche Lösung wie bei a) sein wenn mich nicht alles täuscht?!

14.09.2009, 20:30

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Ich predige es ja ohne Unterlass, und hier sehen wir alle schön anschaulich, was passiert, wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{12!}{9! \cdot 3!} \end{eqnarray*}$ zu 12! / 9! * 3! verkürzt und genauso in den Taschenrechner hackt...

Zur c)

Die lässt sich nicht mit einer Grundformel erschlagen °) , hier musst du mehrere Überlegungen geeignet kombinieren! Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten, ich nenne mal zwei

(1) Man wählt zuerst die drei Torhüter ohne Reihenfolge (wie bei b), und wählt anschließend unter diesen drei den Stammtorwart aus.

oder

(2) Man wählt zuerst den Stammtorwart aus den 12 Kandidaten aus, und anschließend die zwei Ersatztorwarte aus den restlichen 11 Kandidaten (ohne Reihenfolge).

Beide Varianten sind möglich, und führen auf die richtige Anzahl.

Fußnote: °) Erfahrene Kombinatoriker werden hier protestieren - es geht doch, über Permutationen mit Wiederholung von 12=9+1+2 Elementen, aber das ist für den Anfänger sicher noch schwerer zu verstehen. Augenzwinkern

14.09.2009, 21:38

matawis

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Ich machs mal nach beiden Varianten:

c)
(Variante 1)

Da 3 Spieler wurden ja bereits bei b) ausgewählt.

Berechnung:

$\begin{eqnarray*} A_{2} = \frac{3!}{(3-2)! \cdot 2!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{2} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A =A_{1} \cdot A_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A =3 \cdot 220 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 660 \end{eqnarray*}$

(Variante 2)

12 Möglichkeiten einen Torwart auszuwählen.
$\begin{eqnarray*} A_{1} =12 \end{eqnarray*}$

D.h. es bleiben nur noch 11 für die Auswahl der Ersatztorwarte:
Kombination ohne Wiederholung

$\begin{eqnarray*} A_{2} = \frac{11!}{(11-2)! \cdot 2!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{2} = 55 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A =A_{1} \cdot A_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A =12 \cdot 55 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A =660 \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 08:24

BarneyG.

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Na, wunderhübsch. Und weil nun die Rechnungen für die ersten beiden Varianten schon mal ausführlich dastehen, machen wir noch die von Arthur Dent angeregte 3. Variante mit den Permutationen:

Variante 3:

Die 12 Spieler kann man auf 12! Arten anordnen.

Die Reihenfolge der nicht ausgewählten 9 Spieler spielt keine Rolle. Deshalb dividieren wir die Anzahl aller Anordnungen durch 9!

Die Reihenfolge der beiden Ersatztorwarte spielt ebenfalls keine Rolle, deshalb dividieren wir durch 2!

Und der guten Form halber dividieren wir noch durch die Anzahl der Möglichkeiten einen Torwart anzuordnen. Die ist nämlich 1!

$\begin{eqnarray*} A = \frac {12!}{9! 2! 1!} = 660 \end{eqnarray*}$

Grüße

15.09.2009, 09:49

matawis

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Danke für alles!

hoffe ich kann auch mal anderen mit meinen bescheidenen Mathe Kenntnissen weiterhelfen.

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