Wurzelfunktionen: Wann Quotientenregel und wann Produktregel

14.09.2009, 22:06

watt weiss ich 89

Wurzelfunktionen: Wann Quotientenregel und wann Produktregel

Hallo
kann ich eigentlich immer statt quotientenregel auch die produktregel anwenden?
jede wurzel unter dem bruchstrich lässt sich ja als faktor schreiben

z.b.
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x}{3} \sqrt{9-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{\sqrt{9-x}}{3} - \frac{x}{6\sqrt{9-x}} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{3} (9-x)^{1/2} - \frac{1}{6} (9-x)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

so bei der 2ten Ableitung tu ich mich extrem schwer...
ich habs mehrfach versucht..
laut musterlösung ist
$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{x-12}{6\sqrt{(9-x)^{3}}} \end{eqnarray*}$

was muss ich anwenden um auf dieses ergebnis zu kommen? QR oder PR? oder ist das wie schon erwähnt egal?

viele Grüße

15.09.2009, 08:37

sulo

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RE: Wurzelfunktionen: Wann Quotientenregel und wann Produktregel
Ich verwende grundsätzlich statt der Quotientenregel die Produktregel, weil ich sie einfacher und übersichtlicher finde.

Statt mit $\begin{eqnarray*} f' = \frac{g'\cdot h - g \cdot h'}{h^2} \end{eqnarray*}$ rechne ich mit $\begin{eqnarray*} f' = g'\cdot h + g \cdot h' \end{eqnarray*}$ , wobei natürlich aus dem Bruch zunächst ein Produkt gemacht werden muss, wie du richtig schreibst.

Es ist Geschmackssache, wie man sich entscheidet, allerdings sollte man beide Regeln beherrschen... Augenzwinkern

Zu deiner Rechnung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{\sqrt{9-x}}{3} - \frac{x}{6\sqrt{9-x}} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{3} (9-x)^{1/2} - \frac{1}{6} (9-x)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

Hier ist dir ein Fehler unterlaufen, du hast im Subtrahenden ein x vergessen. So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{3} (9-x)^{1/2} - \frac{x}{6} (9-x)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

edit:
Ich habe das jetzt mehrmals durchgerechnet, aber auf die Musterlösung komme ich auch nicht....

15.09.2009, 18:34

watt weiss ich 89

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hallo sulo
vielen Dank

Produktregel finde ich auch wesentlich einfacher....

stimmt bei der Umformung der ersten Ableitung hatte ich das x vergessen...

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