Wurzel(Term) korrekt ableiten

15.09.2009, 12:00

mathenovize

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Wurzel(Term) korrekt ableiten

Hallo,

sitze gerade ein weiteres mal mit einem Brett vorm Kopf vor einer sicher total dämlichen Lösung ;-)

Das ist die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Und das nach Ableitungstabelle und eingesetzt mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)=\frac{1}{2} * \frac{x}{2* \sqrt{1+x^2} }<br /> \end{eqnarray*}$

Laut Musterlösung fällt die 2 im nenner jedoch WEg und das Ergebnis lautet dann $\begin{eqnarray*} x*(1+x^2)^-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand einen kleinen Schubser geben? Sitze hier seit einer Stunde und grüble. Laut Ableitungsrechner online kommt
$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)=\frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }<br /> \end{eqnarray*}$

raus. Dashat mich nun vollends verwirrt :-(
Danke im Vorraus!

15.09.2009, 12:02

tigerbine

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RE: Wurzel(Term) korrekt Ableiten
Willkommen

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Kettenregel

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 12:04

mathenovize

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Bäm, in the Face!
Hammer

Hammer

Dankeschön!

15.09.2009, 12:06

mathenovize

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Okay, aber wie kommt man auf hoch -1/2? Wenn ich den Term mit sqrt(1+x^2) multipliziere erhalte ich doch x*sqrt(1+x^2) direkt?

EDIT: Da muss x*-sqrt(1+x^2) rauskommen, schätze ich. Nur warum?

Grüße

15.09.2009, 12:09

tigerbine

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Potenzregel.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+x^2} = (1+x^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 12:27

mathenovize

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Okay, dann jetzt der Knaller. Nach welcher Regel lässt sich bitte

$\begin{eqnarray*} (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x(1+x^2)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
umformen zu
$\begin{eqnarray*} ((1+x^2)-x^2)+(1+x^2)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
?

Ich muss gleich definitiv all die von dir genannten regeln auswendiglernen und auf den Spickzettel (dürfen wir) schreiben. Super nett übrigens, danke schonmal smile

smile

Grüße

EDIT: Das soll mal wenns fertig ist die zweite Ableitung des obigen Terms werden. Danach kommt noch die dritte und dann kann ich endlich mein Taylorpolynom ausrechnen smile

smile

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15.09.2009, 12:30

tigerbine

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Was ist bei der neuen Aufgabe die Funktion? Exponenten mit {} einkammern in latex.

15.09.2009, 12:42

mathenovize

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Ist gemacht smile

smile

Schaue mir gerade nochmal die Potenzregeln an, komme beim besten Wille aber nicht drauf, wie man die hoch -1/2 wegfallen und aus -1/2x ein x^2 macht.

15.09.2009, 12:49

tigerbine

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Also die zweite Ableitung berechnen. Ok.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+x^2} = (1+x^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Quotientenregel.

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1\cdot \sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x}{(\sqrt{1+x^2})^2} \end{eqnarray*}$

Den Bruch kann man nun nach eigenem Belieben noch vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}}{(\sqrt{1+x^2})^2} - \frac{x^2 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{(\sqrt{1+x^2})^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x^2}{(\sqrt{1+x^2})^3} \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 12:49

mYthos

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$\begin{eqnarray*} x^{-\frac 1 2} = \frac {1} {x^{\frac 1 2}} = \frac {1}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$

mY+

15.09.2009, 12:49

kiste

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Bei sowas am besten immer einen kleinen Plausibilitätscheck machen. Man sieht beispielsweise leicht dass der eine Term für x=0 1 liefert, der andere aber 2. Damit sind die nicht gleich Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2009, 13:04

mathenovize

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Zitat:

Original von tigerbine
´
Den Bruch kann man nun nach eigenem Belieben noch vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} - \frac{x^2}{(\sqrt{1+x^2})^3} \end{eqnarray*}$

Versteh ich das Richtig, dass du bei diesem Schritt aus dem 1/sqrt(1+x^2) im Kopf ein sqrt(1+x^2)^-1 gemacht hast und das dann durch ich nenns mal "umswitchen" (Regel?) auf den nenner-Exponenten addiert hast?

Das ist cool smile

smile

Grüße

15.09.2009, 13:07

tigerbine

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Wenn du es so ausdrücken willst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2009, 13:31

mathenovize

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Okay, alles schön. Mit dieser leichten Methode hab ichs auch hinbekommen. Hab das noch mit ein paar anderen Wurzelfunktionen geübt jetzt.

Leider erwartet unser Prof, dass ich bei f'' irgendwie auf (1+x)^-3/2 komme. Das ist auch das selbe wie meine Ableitung, sagt mir mein Graphen-Programme.

Und davon die Dritte Ableitung wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} -3x(1+x^2)^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

Das krieg ich mittlerweile schon hin. Blos der Schritt zu der zweiten ist mir unklar.

15.09.2009, 13:35

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x^2}{(\sqrt{1+x^2})^3} =\frac{(\sqrt{1+x^2})^2-x^2}{(\sqrt{1+x^2})^3} =\frac{1}{(\sqrt{1+x^2})^3} \end{eqnarray*}$

Bruch zusammenfassen. HN bilden.

15.09.2009, 13:38

mathenovize

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Patsch! *hand direkt ins Gesicht*

Man musste den ersten Bruch nur mit (sqrt(1+x^2))^2 erweitern. Asche auf mein Haupt.

Aber wenn ich mir das so ansehe, lerne ich gerade eine Menge und eine Menge davon auch fürs Leben. Verspreche auch das alles gleich brav nochmal nachzuarbeiten, dann passt beim zweiten dritten mal ohne Hilfe. Danke!!!!

Wenn das Forum mal sonst irgendwie Hilfe braucht (lass mir ungern ohne Gegenleistung helfen, aber leider bin ich in Mathe etwas unter Zeitdruck), biet ich mich gern an!

Grüße

15.09.2009, 13:40

tigerbine

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Passiert uns doch allen, dass man nicht gleich den richtigen Blick auf etwas hat. Ups

Ups

Wenn du einen Thread findest, wo du jemandem helfen kannst, dann mach es einfach. Und wenn du noch Fragen hast, dann stell sie. Wink

Wink

15.09.2009, 15:35

mathenovize

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Okay, letzte Blöde Frage, dann hab ichs durch:

Wie kommt man von $\begin{eqnarray*} 1^{-\frac{3}{2}}x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ .

Grüße

15.09.2009, 16:16

tigerbine

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