Frage zur Formel für orthogonale Projektion

15.09.2009, 10:00

MMel

Frage zur Formel für orthogonale Projektion

Hallo!

In unserem Matheskript steht folgendes Lemma zur orthogonalen Projektion:

"Sei V ein endlich dimnsionaler Vektorraum über K mit Skalarprodukt, und sie U Teilmenge von V ein Unterraum mit Orthonormalbasis $\begin{eqnarray*} {u_1,...,u_m} \end{eqnarray*}$ . Für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ setzen wir $\begin{eqnarray*} P_U : V\Rightarrow U \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P_U(v) = \sum_{k=1}^m~<v,u_j>u_j \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} P_U \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung - die sogenannte orthogonale Projektion von V auf U."

Mein Problem: Ich verstehe nicht, wie man auf $\begin{eqnarray*} P_U(v) = \sum_{k=1}^m~<v,u_j>u_j \end{eqnarray*}$ kommt. Kann man das irgendwie aus $\begin{eqnarray*} <v-P_U(v),u>=0 \end{eqnarray*}$ herleiten? So weit verstehe ich das nämlich wohl.
Oder muss man, um diese Formel zu verstehen, einen ganz anderen Weg gehen?

Vielen Dank für eure Hilfe

15.09.2009, 10:36

Mystic

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Denk dir die Orthonormalbasis $\begin{eqnarray*} {u_1,u_2,\ldots,u_m} \end{eqnarray*}$ von U zu einer Orthonormalbasis $\begin{eqnarray*} {u_1,u_2,\ldots,u_n} \end{eqnarray*}$ von V fortgesetzt. Jedes $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ hat dann jedenfalls eine Darstellung

$\begin{eqnarray*} v=\sum_{j=1}^n x_ju_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_j \in K \end{eqnarray*}$

Offensichtlich gilt dann aber

$\begin{eqnarray*} x_j =<v,u_j> \end{eqnarray*}$

für alle j=1,2,...,n, insbesondere also für j=1,2,..,m, und es ist

$\begin{eqnarray*} P_U (v) =\sum_{j=1}^m <v,u_j> u_j \end{eqnarray*}$

der "Anteil" von v, der auf U entfällt. Die orthogonale Projektion ist also, wenn man zu der Koordinatendarstellung übergeht, nichts anderes als die "Verkürzung"

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,...,x_n) \mapsto (x_1,x_2,..,x_m) \end{eqnarray*}$

Hoffe, dass dies deine Frage beantwortet, bin mir aber nicht sicher...

15.09.2009, 11:39

Reksilat

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Genauer gesagt: $\begin{eqnarray*} (x_1,...,x_m,x_{m+1},...x_n) \mapsto (x_1,...,x_m,0,...,0) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

16.09.2009, 09:11

MMel

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Vielen Dank für deine Antwort. Leider ist mir der folgende Schritt noch nicht klar:

Zitat:

Original von Mystic
Jedes $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ hat dann jedenfalls eine Darstellung

$\begin{eqnarray*} v=\sum_{j=1}^n x_ju_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_j \in K \end{eqnarray*}$

Offensichtlich gilt dann aber

$\begin{eqnarray*} x_j =<v,u_j> \end{eqnarray*}$

für alle j=1,2,...,n, insbesondere also für j=1,2,..,m,

Wieso gilt dann offensichtlich $\begin{eqnarray*} x_j =<v,u_j> \end{eqnarray*}$ ? Ich kann das nicht ganz nachvollziehen....Oder hab ich da nur n Brett vorm Kopf? verwirrt

16.09.2009, 09:12

Cordovan

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Mach auf beiden Seiten der Gleichung das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray*} u_j \end{eqnarray*}$ !

Cordovan

16.09.2009, 11:01

MMel

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Warum ist denn $\begin{eqnarray*} <\sum_{j=1}^n~x_ju_j,u_j>=x_j \end{eqnarray*}$ ?

16.09.2009, 11:04

Reksilat

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Zitat:

Original von MMel
Warum ist denn $\begin{eqnarray*} <\sum_{j=1}^n~x_ju_j,u_j>=x_j \end{eqnarray*}$ ?

Da es sich hier einmal um den Laufindex und einmal um einen festen Index handelt, schreibe doch besser:
$\begin{eqnarray*} <\sum_{j=1}^n~x_ju_j,u_k>=x_k \end{eqnarray*}$

Nun verwende die Eigenschaften des Skalarprodukts und die Orthogonalität der Basis $\begin{eqnarray*} \{u_i\}_{i=1..n} \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

16.09.2009, 11:18

MMel

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Also... da ja $\begin{eqnarray*} \left\{ u_i\right\}_{i=1...n} \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis ist, gilt ja, $\begin{eqnarray*} u=\sum_{j=1}^n~<u,u_j>u_j { } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall u\in U \end{eqnarray*}$
Aber wie kann ich das auf dieses Problem anwenden und welche Eigenschaften des Skalarproduktes meinst du?

16.09.2009, 11:20

Reksilat

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Linearität zum Beispiel?

Edit: Wenn Du diese Darstellung schon hast, wo ist denn dann das Problem? Das ist doch genau das, was Mystic geschrieben hat.

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