Wichtige Werte die man kennen sollte bzgl. e Funktion und ln

15.09.2009, 17:21

Eva-S

Wichtige Werte die man kennen sollte bzgl. e Funktion und ln

Hi zusammen,

ich stelle mir gerade die wichtigsten Dinge die man wissen sollte bzgl. de e-Funktion und der ln-Funktion zusammen.

Vielleicht habt Ihr noch Ergänzungen / Korrekturen (falls falsch):

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$\begin{eqnarray*} \ln(x) = 1 \\ \Rightarrow e^{\ln x} = e^1 \\ \Rightarrow x = e^1 = e \end{eqnarray*}$

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$\begin{eqnarray*} \ln(x) = -1 \\ \Rightarrow e^{\ln x} = e^{-1} \\ \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} a^x = e^{(\ln a)^x} = e^{x \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$

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$\begin{eqnarray*} \ln (e) = 1 \end{eqnarray*}$

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$\begin{eqnarray*} \ln (\frac {1}{e}) = -1 \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 17:34

Asics

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ln(1) = 0

16.09.2009, 07:45

Eva-S

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Zitat:

Original von Asics
ln(1) = 0

Ahh, gute Idee, das nehme ich noch mit auf.

16.09.2009, 08:54

kiste

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RE: Wichtige Werte die man kennen sollte bzgl. e Funktion und ln

Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} a^x = e^{(\ln a)^x} = e^{x \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Richtig:
$\begin{eqnarray*} a^x = e^{(\ln a^x)} = e^{x \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten natürlich die Funktionalgleichungen:
$\begin{eqnarray*} \ln(a^b) = b\ln a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \ln(ab) = \ln a + \ln b \end{eqnarray*}$
und dazu dual:
$\begin{eqnarray*} e^{a+b} = e^a\cdot e^b \end{eqnarray*}$

16.09.2009, 09:21

klarsoweit

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RE: Wichtige Werte die man kennen sollte bzgl. e Funktion und ln

Zitat:

Original von kiste

Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} a^x = e^{(\ln a)^x} = e^{x \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

Nun ja, es hat halt ne Klammer gefehlt:

$\begin{eqnarray*} a^x = \left( e^{(\ln a)} \right) ^x = e^{x \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$

17.09.2009, 12:40

Eva-S

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so stimmig inklusive der klammern?

$\begin{eqnarray*} a^x =e^{\ln (a^x)} = \left( e^{(\ln a)} \right) ^x = e^{x \cdot \ln a} \end{eqnarray*}$

17.09.2009, 12:46

klarsoweit

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Ich würde nur die Reihenfolge vertauschen:

$\begin{eqnarray*} a^x = e^{\ln (a^x)} = e^{x \cdot \ln a} = \left( e^{(\ln a)} \right) ^x \end{eqnarray*}$

Es ist nämlich nicht auf den ersten Blick klar, wie man von $\begin{eqnarray*} e^{\ln (a^x)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left( e^{(\ln a)} \right)^x \end{eqnarray*}$ kommt. smile

17.09.2009, 12:58

Eva-S

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ok, danke... hast recht...

Freude

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