wurzelfunktion differenzieren

15.09.2009, 19:25

chrisTM

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wurzelfunktion differenzieren

Hallo,
aus einem Physik Vorkurs habe ich folgende Übungsaufgabe, die ich aber nicht lösen kann.
Sie lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \left(ln\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b} }{\sqrt{ax+b} +\sqrt{b} } \right) \end{eqnarray*}$
Die Lösung ist mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \sqrt{\frac{b}{ax+b} } \end{eqnarray*}$
angegeben.
1/x dürfte die Ableitung von ln sein. Als ersten lösungsansatz habe ich versucht den Bruch abzuleiten:
u= $\begin{eqnarray*} {\sqrt{ax+b}-\sqrt{b} } \end{eqnarray*}$
u'= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left(ax+b\right)^{- \frac{1}{2} }*a \end{eqnarray*}$
v= $\begin{eqnarray*} {\sqrt{ax+b}+\sqrt{b} } \end{eqnarray*}$
v'= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left(ax+b\right)^{- \frac{1}{2} }*a \end{eqnarray*}$
Nur weiß ich nicht was ich jetzt genau anwenden muss.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

15.09.2009, 19:27

vektorraum

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RE: wurzelfunktion differenzieren
Du solltest sowohl die Ketten- als auch die Quotientenregel beachten!!!

Deine Ableitungen von u und v stimmen, nun noch zusammenfügen alles.

15.09.2009, 20:03

chrisTM

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$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2} \left(ax+b\right)^{- \frac{1}{2} }*a * \left({\sqrt{ax+b}+\sqrt{b} }\right) - \left(\left({\sqrt{ax+b}-\sqrt{b} }\right)* \frac{1}{2} \left(ax+b\right)^{- \frac{1}{2} }*a \right) }{\left({\sqrt{ax+b}+\sqrt{b} }\right)^{2} } \end{eqnarray*}$
Das habe ich als Ansatz für die Ableitung des Bruchs. Nur löst sich das bei mir nicht grade vorteilhaft auf.
$\begin{eqnarray*} \frac{ \left(ax+b\right)^{- \frac{1}{2} }*a * {\sqrt{b} } }{\left({\sqrt{ax+b}+\sqrt{b} }\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 20:06

vektorraum

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Das sieht sehr gut aus! Jetzt noch die Ableitung der äußeren Funktion dazu und dann vereinfacht sich das Ganze sehr schön! Nur Mut!

15.09.2009, 20:09

chrisTM

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Was ist denn die äußere Funktion hier?
ln(x)?

15.09.2009, 20:11

vektorraum

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Yupp, damit hast du dann also 1/(die ganzen Wurzeln in der Klammer)...

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15.09.2009, 20:22

chrisTM

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ganz ehrlich ich weiß ab da einfach nicht weiter.
die ableitung von ln(x)= 1/x ?
ergibt also 1/ $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \left(ln\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b} }{\sqrt{ax+b} +\sqrt{b} } \right) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{ \left(ax+b\right)^{- \frac{1}{2} }*a * {\sqrt{b} } }{\left({\sqrt{ax+b}+\sqrt{b} }\right)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?
edit:
1/ $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b} }{\sqrt{ax+b} +\sqrt{b} } \right) \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{ \left(ax+b\right)^{- \frac{1}{2} }*a * {\sqrt{b} } }{\left({\sqrt{ax+b}+\sqrt{b} }\right)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

15.09.2009, 20:35

vektorraum

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Der Edit sieht gut aus. Immer getreu der Regel: Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion. Nun noch vereinfachen.

15.09.2009, 20:42

chrisTM

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keine ahnung wenn ich das ausrechne, kommt dabei auch nichts gescheites bei rum.
ich denke ich habe beim ableiten des bruchs wohl einen fehler gemacht.
was wäre denn 1/ $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b} }{\sqrt{ax+b} +\sqrt{b} } \right) \end{eqnarray*}$
1/ax+b -b?

15.09.2009, 20:51

vektorraum

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Nein, du hast die innere Ableitung richtig gemacht. Also nochmal:

Die Ableitung der inneren Funktion ist $\begin{eqnarray*} \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (\sqrt{ax+b}+\sqrt{b})^2} \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung der äußeren Funktion ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}+\sqrt{b}}} \end{eqnarray*}$

Nun fasst du beides zusammen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (\sqrt{ax+b}+\sqrt{b})^2}\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}+\sqrt{b}}} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist nur ein wenig umformen... Und nicht das Kürzen vorher vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2009, 21:05

chrisTM

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Zitat:

Original von vektorraum
Nein, du hast die innere Ableitung richtig gemacht. Also nochmal:

Die Ableitung der inneren Funktion ist $\begin{eqnarray*} \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (\sqrt{ax+b}+\sqrt{b})^2} \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung der äußeren Funktion ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}+\sqrt{b}}} \end{eqnarray*}$

Nun fasst du beides zusammen:
edit: so zusammengefasst?

$\begin{eqnarray*} =\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (\sqrt{ax+b}+\sqrt{b})^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}* {\sqrt{ax+b}+\sqrt{b}}} \end{eqnarray*}$

ich kriege den letzen schritt einfach nicht hin. kommt denn wenigstens das vorgegebene Ergebniss raus?

15.09.2009, 21:23

vektorraum

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Ja, es kommt die angegebene Lösung raus. Du musst doch bei meiner letzten Zeile nur mal den Doppelbruch beseitigen, dann Kürzen und anschließend weiter vereinfachen!

15.09.2009, 23:14

chrisTM

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$\begin{eqnarray*} =\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (\sqrt{ax+b}+\sqrt{b})^2}\cdot \frac{\sqrt{ax+b}+\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (\sqrt{ax+b}+\sqrt{b})}\cdot \frac{1}{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (\sqrt{ax+b}^2-\sqrt{b}^2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (ax+b-b)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (ax)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}\cdot (x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{x}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{x}\cdot\sqrt{\frac{b}{ax+b}} \end{eqnarray*}$

16.09.2009, 08:16

vektorraum

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Sieht sehr gut aus!

16.09.2009, 08:28

AD

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Beiläufig erwähnt lässt sich die Arbeit wesentlich erleichtern, wenn man vor dem Differenzieren vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{\sqrt{ax+b} - \sqrt{b}}{\sqrt{ax+b} + \sqrt{b}} = \ln(\sqrt{ax+b} - \sqrt{b}) - \ln(\sqrt{ax+b} + \sqrt{b}) \end{eqnarray*}$ .

16.09.2009, 13:23

Leopold

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Oder so: Nach Erweitern mit dem Zähler und Anwendung von Logarithmusgesetzen erhält man

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \ln \left| \sqrt{ax+b} - \sqrt{b} \right| - \ln |a| - \ln |x| \end{eqnarray*}$

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