Komplexe Zahlen

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15.09.2009, 20:21	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Guten Abend miteinander! :-) Ich habe folgendes (Verständnis-)Problem: Meine Aufgabe lautet, ich solle Satz 1.1.6 beweisen. Nun, die Ziffer ist eigentlich gar kein Satz, sondern eine Abmachung - ich habe euch hier mal den Ausschnitt gescannt: [attach]11213[/attach] Nun bin ich ein wenig verwirrt, weil ich mir nicht sicher bin (..weil ich nicht weiss), was genau zu beweisen ist...
15.09.2009, 20:28	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich ist gemeint, dass du Satz 1.15 beweisen sollst Cordovan
16.09.2009, 00:09	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe..okey..ich habe nun also versucht, alles zu beweisen. Kann sich das jemand mal durchschauen, und mir sagen, was nicht richtig ist bzw. mir helfen, auf die richtige Lösung zu kommen? (vor allem bei Nr. 2, 7, 8, 9, 10, 12) [Nummern vom eingefügten Bild] Vielen Dank! [attach]11215[/attach] (1) Behauptung: Rez = 0.5(z + ¯z) Beweis: Rez = 0.5(x + iy + x-iy) Rez = 0.5(2x) = x q.e.d. Behauptung: Imz = (1/2i)(z-¯z) Beweis: Imz = 0.5(x + iy - (x - iy)) Imz = 0.5(2iy) = iy q.e.d. (2) Behauptung: z Element von R <--> z = ¯z Beweis: (x + iy) = (x - iy) 0 = 2iy ..hier seh ich leider den Weg nicht, wie ich die Behauptung beweisen soll.. (3) Behauptung: ¯(¯z) = z Beweis: ¯¯¯¯¯¯(x-iy) = (x + iy) [der Strich links sollte über den gesamten Ausdruck gestreckt sein] (x + iy) = (x + iy) q.e.d. (4) Behauptung: ¯¯¯¯¯¯¯(z + w) = ¯z + ¯w Beweis: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(x+iy)+(u+iv) = (x-iy) + (u-iv) (x - iy) + (u - iv) = (x - iy) + (u -i v) q.e.d. Behauptung: ¯¯¯¯¯¯(zw) = ¯z ¯w Beweis: ¯¯¯¯¯¯¯¯((x + iy) * (u + iv)) = (x - iy) * (u - iv) (x - iy) * (u - iv) = (x - iy) * (u - iv) q.e.d. (5) Behauptung: \|z\|^{2} = z * ¯z Beweis: ("wurzel von"(x^{2} + y^{2}))^{2} = (x + iy) * (x - iy) x^2 + y^2 = x^2 - (iy)^2 wobei: (iy)^2 = i * i * y * y = -1 * y also: x^2 + y^2 = x^2 + y^2 q.e.d. (6) Behauptung: \|z\| >= 0 Beweis: "wurzel von"(x^2 + y^2) >= 0 Muss positiv sein, da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist. Behauptung: \|z\| = 0 <--> z = 0 Beweis: "wurzel von"(x^2 + y^2) = 0 <--> z = 0 z muss somit 0 sein, denn nur das Quadrat von 0 ist 0. (7) Behauptung: z Element R <--> \|z\|C = \|z\|R Beweis: ..hier wäre ich um Hilfe sehr froh, weil ich nicht weiss, wie ich diese Behauptung beweisen soll.. (8) Behauptung: \|z + w\| <= \|z\| + \|w\| Beweis: "wurzel von"(x^2 + y^2 + u^2 + v^2) <= "wurzel von"(x^2 + y^2) + "wurzel von"(u^2 + v^2) ..wie kann ich das weiter beweisen? ..es ist ja auch irgendwie trivial, aber man muss ja beweisen.. (9) Behauptung: \|z * w \| = \|z\| * \|w\| Beweis: "wurzel von"((x^2 + y^2) * (u^2 + v^2)) = "wurzel von"(x^2 + y^2) * "wurzel von"(u^2 + v^2) q.e.d. (..ist das wirklich schon zu Ende bewiesen?) (10) Behauptung: \| \|z\| - \|w\| \| <= \|z - w \| Beweis: "wurzel von"("wurzel von"(x^2 + y^2) - "wurzel von"(u^2 + v^2)) <= "wurzel von"((x^2 + y^2) - (u^2 + v^2)) (x^2 + y^2)^(1/4) - (u^2 + v^2)^(1/4) <= (x^2 + y^2)^(1/2) - (u^2 + v^2)^(1/2) Da die Terme recht den grösseren Exponenten haben, sind sie auch grösser, oder zumindest gleich gross wie die Terme auf der linken Seite. (..ist das die richtige Argumentation) (11) Behauptung: \|Rez\| <= \|z\| Beweis: "wurzel von"x^2 <= "wurzel von"(x^2 + y^2) für y = 0: \|Rez\| = \|z\| für y > 0: \|Rez\| < \|z\| q.e.d. (12) Behauptung: z nicht gleich 0 <--> 1/z = (¯z / \|z\|^2) Beweis: (1 / (x + iy)) = ((x - iy) / ("wurzel von"(x^2 + y^2)^2) Da der Nenner rechts = (x + iy)*(x - iy) ist, kann man den Bruch kürzen, so dass links und rechts dasselbe steht. (..kann man so argumentieren --> ist das ein richtiger Beweis? )
16.09.2009, 00:32	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, Zu 2. was folgt den, wenn 2iy = 0 gilt? Rückrichtung ist ja fast dasselbe... Zu 7. Da hilft dir dein Ergebnis aus 2 vll. weiter ... Zu 8. ICh kenne den Beweis, wo man \|z+w\|^2 <= (\|z\|+\|w\|)^2 zeigt. Was ja ausreicht. Nutze dazu deine oberen Ergebisse, könnten hilfreich sein. Zu 9. Deine Linke Seite ist nicht \|zw\|. z = a + ib w = x + iy \|zw\| = \| (a+ib)(x+iy) \| ... sollte der Ansatz sein. alternativ... Mit der Eigenschaft aus 5 müsste es in 2 Zeilen stehen, wenn ich mich nicht vertue. Zu 12. also für mich ist eine Schreibweise des Inversen mit 1/z = 1/(x+iy) neu. Alternativ vll zeigen, dass das Produkt aus z mit deinem Angegebenen Term auch wirklich das neut. Element ergibt, was ja nachsichziehen würde, dass dieses Wirklich ein inverses ist. mfg. edit. naja gute nacht.
16.09.2009, 08:10	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass du immer mit dem zu zeigenden anfängst, und das dann umformst. Das hat dich auch bei der (12) verwirrt; erst erweiterst du mit (x-iy), dann kürzt du es wieder raus und bist am Anfang. Das ist dann natürlich kein Beweis. Du solltest lieber jeweils mit einer Seite der zu zeigenden Gleichung / Äquivalenz anfangen und auf die andere Seite umformen. Cordovan
16.09.2009, 21:43	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure zwei Beiträge! Vielleicht zuerst zu meinen Aufgaben: Nr. 2 hat sich erledigt - danke! Bei Nr 7 habe ich nach wie vor Probleme: Und zwar weiss ich einfach nicht, was genau gefragt ist: \|z\| ist ja die Wurzel aus (x^2 + y^2) , ob in C oder in R (aber das muss man wahrscheinlich genau beweisen --> aber wie? ) Zur Nr. 8 : Wie zeigt man denn, dass \|z+w\|^2 <= (\|z\|+\|w\|)^2 ist? Zu 9: Hier habe ich folgende Umformungen gemacht: \|z * w\| = \|(x+ iy)(u - iy)\| = \|xu - xiy + uiy -1 \| ..stimmt das? Bei der 12 verstehe ich zwar deine Idee, aber ich kann sie nicht in die Praxis umsetzen. Könnte ich nicht die beiden Terme einfach mit ( z * \|z\|^2) multiplizieren, und dann so zeigen, dass die beiden Terme gleichwertig sind? ---- Zum Beitrag von Cordovan: Ich habe bei gewissen Aufgaben eben auch das Gefühl gehabt, dass ich zwar den ersten Schritt mache, aber das dann doch nicht 100% beweise.. Bei welchen Aufgaben ist der Beweis denn falsch oder unvollständig? ..und was fehlt wo noch (und evtl tipps zum vorgehen?) (bzw., wenn alle "Beweise" falsch sind, könntest du vielleicht ein Beispiel von einer Aufgabe machen?) Herzlichen Dank für eure Beiträge!
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16.09.2009, 22:56	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
zu Nr. 7: $\begin{eqnarray} <br /> z := x + iy<br /> x,y \in \mathbb R<br /> \|z\| _\mathbb C = \sqrt{x^2 + y^2}<br /> \sqrt{x^2 + y^2} = \|x\|<br /> \Rightarrow x^2 + y^2 = \|x\|^2<br /> \end{eqnarray}$ Den Rest ergänzen und hinrichtung beachten für die Äquivalenz... Zur Nr. 8 : Wende zuerst 5 und dann 11 aus deinen Regeln an. Zu 9: Bei deinen Umformungen hast du dich glaube ich mit den Bezeichnungen bei dem Imaginärteil von z und w vertan? Versuch $\begin{eqnarray} \|zw\|^2 = \|z\|^2\|w\|^2 \end{eqnarray}$ zu zeigen mit Anwenden von Regel 5. Das dürfte einfacher sein... Fange dabei beim Linken einfach an. Zu 12. Gehe von z = x + iy aus. Du willst Zeigen, dass $\begin{eqnarray} (x + iy) \frac{x - iy}{x^2+y^2} = 1 + 0i \end{eqnarray*}$ gilt. Mfg.
17.09.2009, 00:49	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank für die Antwort! Nr 12 ist nun auch geschafft, Nummer 8 ebenfalls. Bei der Nummer 7 wäre ich echt froh, wenn du mir evtl den ganzen Beweis zeigen kannst, denn trotz deinen Bemühungen sehe ich die Lösung nicht Bei der Nummer 9 habe ich soweit umgeformt, dass links unter der Wurzel folgender Ausdruck steht: u^2 * x^2 + u^2 * y^2 + v^2 * x^2 + v^2 * y^2 was gleichwertig ist mit Wurzel aus (x^2 + y^2) * Wurzel aus (u^2 + v^2) ..allerdings bin ich nicht sicher, ob das wirklich ein Beweis ist... Vielen Dank nochmals und gute Nacht!
18.09.2009, 10:22	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals zur Nummer 7: ich habe dort mal soweit umgeformt: Wurzel aus (x^2 + y^2) = x + iy <--> x^2 + y^2 = x^2 + 2iy -iy^2 <--> x^2 + y^2 = iy*(2x - iy) ..stimmt das soweit? ..wenn ja: wie komme ich weiter / werde ich fertig? (wenn nein: wie löse ich die Aufgabe?) Herzlichen Dank für die Hilfe! PS: Die Nummer 9, habe ich sie richtig gelöst?
18.09.2009, 11:02	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, zu Nr. 9: $\begin{eqnarray} <br /> z_k , w_k \end{eqnarray}$ seinen die konj. Komplexen $\begin{eqnarray} \|zw\|^2 = (zw)(zw)_k = (zw)(z_k w_k) = zz_k ww_k = \|z\|^2\|w\|^2 \end{eqnarray}$ Wie man darauf kommt, vergewisserst du dich am besten mit den Rechenregeln aus deiner Liste. zu nr. 7: $\begin{eqnarray} <br /> z:= x+iy , x,y\in \mathbb R<br /> \|z\|_\mathbb C = sqrt(x^2 + y^2)<br /> \end{eqnarray}$ Rückrichtung: $\begin{eqnarray} <br /> \|z\|_\mathbb C = sqrt(x^2 + y^2) = \|x\|_\mathbb R<br /> \Rightarrow x^2 + y^2 = \|x\|_\mathbb R^2 = \|x^2\|_\mathbb R = x^2<br /> \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0<br /> \Rightarrow z \in \mathbb R<br /> \end{eqnarray*}$ Zwar hat seid meinem letzten post keiner Protestiert, jedoch fällt mir da was auf. Und zwar macht mri der erste Schritt sorgen bei der Rückrichtung. ich meine ich müsste da ja eigent. z in C einsetzen, was jedoch für eine reele Betragsfunktion nicht definiert ist. Ansonsten Jetzt fehlt noch die Rückrichtung. mfg.
18.09.2009, 17:16	lucretia	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand erklären wie genau man die Nr. 10 beweist? LG

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