Nullstellenberechnung bei Funktionsscharen

15.09.2009, 22:17

Xboxer

Nullstellenberechnung bei Funktionsscharen

Hallo Leute,
ich steh hier grad vor einem großen Problem bei folgender Aufgabe
bei der ich die Lösung schon habe aber einfach nicht auf den Lösungsweg komme:

Bestimme für welchen Parameter k keine Nullstellen entstehen.
Das ist die Formel:
$\begin{eqnarray*} f_k(x)=x²+kx+k \end{eqnarray*}$
Zuerst hab ich ganz normal 0 eingesetzt und mit der pq-Formel umgewandelt:
$\begin{eqnarray*} 0=- (\frac{-k}{2})\pm \sqrt{(\frac{-k}{2})²-k} \end{eqnarray*}$
Dann habe ich gesehen dass es keine Lösung gibt wenn $\begin{eqnarray*} (\frac{-k}{2})²-k \end{eqnarray*}$ negativ ist. $\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{-k}{2})²-k}<0 \end{eqnarray*}$ entspricht k<4.

Nun weiß ich aber auch dass k>0 sein muss aber leider nicht wie man rechnerisch darauf kommt.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

Mfg Xboxer

15.09.2009, 22:23

Omicron

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ich glaube du hast die pq formel nicht ganz richtig angewendet.

es müsste, glaube ich das sein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{k²}{4}-k}<0 \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 22:29

Xboxer

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ja stimmt da sich (-)² aufhebt
im 2. Teil müsste auch

Dann habe ich gesehen dass es keine Lösung gibt wenn $\begin{eqnarray*} (\frac{-k}{2})²-k \end{eqnarray*}$ negativ ist. $\begin{eqnarray*} (\frac{k²}{4})-k<0 \end{eqnarray*}$ entspricht k<4.

stehen.

15.09.2009, 22:38

Omicron

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du hast die fallunterscheidung bei der umformung der ungleichung vergessen!

15.09.2009, 22:41

Xboxer

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was gibt es denn für unterschiedliche fälle?
Steh grade voll aufm Schlauch...

15.09.2009, 22:52

Omicron

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naja ich weiß es jetzt auch nicht allgemein, aber tatsache ist dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²} = | x | \end{eqnarray*}$

Dann versucht man mittels quadratischer ergänzung die ungleichung entsprechend umzuformen und macht dann die übliche fallunterscheidung mit den betragsstrichen!

15.09.2009, 22:58

Xboxer

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könntest du mir zeigen wie ich die quadratische ergänzung hier anwenden muss?

15.09.2009, 23:15

Omicron

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$\begin{eqnarray*} \frac{k²}{4} - k < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow k² - 4k < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow k² - 4k + 4 < 4 \end{eqnarray*}$

so, den rest überlasse ich dir!

16.09.2009, 08:33

Xboxer

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also komme ich auf (k-2)²<4
und wo kann ich jetzt die Fallunterscheidung einbringen?

16.09.2009, 08:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Omicron
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow k² - 4k < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow k² - 4k + 4 < 4 \end{eqnarray*}$

Die 2. Ungleichung bringt nichts. In der ersten Ungleichung kann man ein k ausklammern und dann Fallunterscheidung machen.

16.09.2009, 19:34

XBoxer

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Also aus $\begin{eqnarray*} k(k-4)<0 \end{eqnarray*}$ kann man ja schon sehen was die Ergebnisse sind,
aber wie komme ich jetzt rechnerisch darauf?

16.09.2009, 19:43

klarsoweit

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Indem du eben eine Fallunterscheidung machst. Wann ist denn ein Produkt negativ?

16.09.2009, 20:23

XBoxer

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Ahh so langsam verstehe ich^^
Könnte ich also in der Arbeit schreiben(ungefähr):
Wenn k<0 dann muss k>4 damit k(k-2)<0 ergibt (Widerspruch)
wenn k=0 muss das Produkt = 0 sein also(Widerspruch)
Wenn k>0 muss k<4 sein damit k(k-2)<0(kein Widerspruch)

17.09.2009, 08:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von XBoxer
Wenn k>0 muss k<4 sein damit k(k-2)<0(kein Widerspruch)

Ging es nicht um k * (k - 4) < 0 ? verwirrt

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