Schwarzfahrer - Wahrscheinlichkeit

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16.09.2009, 18:54	Smith	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwarzfahrer - Wahrscheinlichkeit Hallo! Neues Schuljahr -> neue Mathematik Beispiele zum Kopfzerbrechen Beispiel: 6% aller Bahnfahrer sind Schwarzfahrer. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Waggon mit 50 Personen a) genau 2 Schwarzfahrer befinden? b) mindestens 3 Schwarzfahrer befinden? Ich hab mich bei Wahrscheinlichkeiten noch nie sehr gut ausgekannt, aber hier weiß ich nicht mal wie ich ansetzen soll? Hoffentlich kann mir jemand helfen Lg Smith
16.09.2009, 19:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort Bernoulli-Experiment - und damit verbunden die Binomialverteilung als Anzahlverteilung.
16.09.2009, 19:25	Smith	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich nicht ganz Könntest du vielleicht so lieb sein und mir beim Ansatz helfen?
16.09.2009, 19:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der Ansatz.
16.09.2009, 19:44	Smith	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben die Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung noch nie gemacht. Bernoulli Experiment heißt ja eigentlich nur, dass es zwei Ergebnisse gibt, oder? Muss ich mit Wahrscheinlichkeit p = 2/50 und gegenwahrscheinlichkeit q=48/50 rechnen?? Lg
16.09.2009, 19:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein: Die 6% sind gleichzeitig die Einzelwahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffener Fahrgast Schwarzfahrer ist - das kannst du als Bernoullisches Einzelexperiment betrachten. Und das ganze wird 50mal wiederholt, für jeden Fahrgast. Jetzt aber!
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17.09.2009, 00:06	Smith	Auf diesen Beitrag antworten »
habe es nun gelöst, danke! lg Smith
19.09.2009, 20:08	Venus²	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich bin gerade auf diese Aufgabe gestoßen und möchte wissen, ob das so richtig ist: P(mind. 3 Schw.f.)=1-(P(2 Schw.f.)+P(1 Schw.f.f)+P(0 Schw.f.)) $\begin{eqnarray} =1-\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 94 \\ 48 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 94 \\ 49 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 94 \\ 50 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$
19.09.2009, 20:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das wäre das Grundmodell, dass es insgesamt nur genau 100 mögliche Fahrgäste gibt, unter denen genau 6 Schwarzfahrer sind. Und von diesen 100 Leuten steigen 50 in diese Bahn ein. Mit der Angabe 6% ist aber nicht gemeint, dass es insgesamt nur um 100 Leute geht, sondern um einen weit größere Anzahl, eher so eine Großstadt...
19.09.2009, 20:41	Venus²	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, danke für die Antwort. Also wäre dann $\begin{eqnarray} P(mind 3 Schw.f.)=1-\left(\begin{pmatrix} 50 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 0,94^{48} \cdot 0,06^2+\begin{pmatrix} 50 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot 0,94^{49} \cdot 0,06+\begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 0,94^{50}\right) \end{eqnarray}$ richtig?
19.09.2009, 21:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richtig, die Binomialverteilung kommt hier zum Zuge. Zu den Hintergründen: Grundsätzlich hast du schon recht, dass bei einem begrenzten Fahrgastreservoir $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ mit festem Schwarzfahreranteil $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die Anzahl der Schwarzfahrer in einer Bahn mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Fahrgästen gemäß der hypergeometrischen Verteilung $\begin{eqnarray} HG(N,Np,n) \end{eqnarray}$ verteilt ist. Wenn nun aber $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ wie hier nicht angegeben ist, kannst du nicht einfach $\begin{eqnarray} N=100 \end{eqnarray}$ annehmen - stell dir nur mal vor, es geht um eine Bahn mit mehr als 100 Fahrgästen, da wird das erst recht vollkommen absurd. Nein, bei fehlender Angabe von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ geht man gemeinhin von $\begin{eqnarray} N \gg n \end{eqnarray}$ aus, und in dem Fall gilt asymptotisch $\begin{eqnarray} HG(N,Np,n) \xrightarrow{N\to\infty} B(n,p) \end{eqnarray}$ , also dasselbe wie bei Unabhängigkeit der "Schwarzfahreigenschaft" von Fahrgast zu Fahrgast.
20.09.2009, 16:56	Venus²	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Sehr interessant zu wissen, dass die hypergeometrische Verteilung für N gegen unendlich zur Binomialverteilung wird.

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