Lineares Gleichungssystem

16.09.2009, 19:07	craxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem Hey Leute, ich übe gerade für eine am nächsten Dienstag anstehende Klausur.Jetzt habe ich hier eine Aufgabe, mit der ich nicht zurechtkomme, bei der ihr mir vielleicht einen Denkanstoss geben und ein wenig helfen könntet. Folgendes: Eine Gärtnerei möchte 5KG Blumendünger mischen, der 45% Kalium enthält. Zur Verfügung stehen die Düngersorten A,B,C. a) Stellen Sie ein LGS auf und bestimmen Sie seine Lösungsmenge b) Welche Mischung kostet am wenigsten, welche am meisten. Anbei die Tabelle mit den Anteilen und Preisen (Wusste nicht, wie ich hier Tabellen erstelle, deswegen ein Excel Screenshot) Mein erster Gedanke war die Erstellung eines LGS auf Basis der Tabelle, wobei der Preis auf der rechten Seite steht, (K=Kalium,S=Stickstoff,P=Phosphor) ergo: 0,4K + 0,5S + 0,1P = 1,60 0,3K + 0,2S + 0,5P = 1,80 0,5P + 0,3S + 0,2*P = 1,70 Diese würde ich dann theoretisch auf Matrixschreibweise bringen und mit dem Gauss-Verfahren K, S und P herausbekommen wollen. Allerdings treten bei diesem Ansatz einige Probleme auf: DIe 5 kg sind nicht berücksichtigt und es ist nicht berücksichtigt, dass ich auf ein Mischverhältnis von 45% Kalium kommen muss. Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben?
17.09.2009, 01:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein lGS ist gänzlich verkehrt, kein Wunder, dass du damit auf keinen grünen Zweig kommst. Was sollen denn K, S und P bedeuten, bzw. welche Dimension besitzen diese, wenn rechts gerade der Kg-Preis jeder Mischung steht? So kann doch das nie zusammenpassen. Für eine eindeutige Lösung gibt es allerdings zu wenig Angaben, d.h. also, dass das Gleichungssystem unterbestimmt sein wird. Wie sieht dieses nun aus bzw. wie können wir dieses vernünftig aufstellen? Da wir 3 Sorten mit verschiedenen Kalium-Anteilen zur Verfügung haben, werden wir diese mit verschiedenen Gewichtsanteilen zu mischen haben. Nehmen wir x kg der Sorte A, y kg der Sorte B und z kg der Sorte C, so können wir damit zwei Bedingungen konkretisieren: 1.: Insgesamt sind es 5 kg 2.: Der Kalium-Anteil der Mischung muss 45% betragen Punktum. Aus den Preisangaben können wir keine weitere direkte Beziehung erstellen, sie dienen lediglich zur späteren Feststellung, wie teuer eine bestimmte Mischung zu stehen kommt. So lauten die zu 1.: und 2.: äquivalenten Beziehungen: $\begin{eqnarray} 1.: \ x + y + z = 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2.: \ 0,4x + 0,3y +0,5z = 5 \cdot 0,45 \end{eqnarray}$ ____________________________________________ Die erste Gleichung wird sofort verständlich sein, wie die zweite zustande kommt, ergibt sich aus der Überlegung, dass die Kalium-Anteile der einzelnen Mischungsbestandteile gleich dem Kaliumanteil der Gesamtmischung sein muss. Löse nun obiges System! Da es eine Gleichung weniger gibt als Unbekannte vorhanden sind, kannst du eine Variable mittels eines Parameters (t) vorgeben. Setze y = t. Die Lösungen x, y und z werden sich somit als Terme in t ergeben. Auf Grund der Tatsache, dass die Lösungen x, y (bzw. t) und z sinnvollerweise allesamt nur positiv (exakt größer oder gleich Null) sein können, ergibt sich eine weitere Einschränkung für t. Wenn du richtig gelöst hast, gilt [ $\begin{eqnarray} 0 \leq t \leq 1,25 \end{eqnarray}$ ] Nun sind die möglichen Lösungen zu diskutieren und können schließlich nun auch hinsichtlich des Preises beurteilt werden. mY+
17.09.2009, 19:44	craxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für ihre ausführliche Hilfe. Ich habe versucht mit ihrem Ansatz zu rechnen, allerdings treten noch ein paar Unklarheiten auf. Zunächst mein (hoffentlich richtiges weiteres Vorgehen): Ich habe das Gleichungssystem in Matrixschreibweise übertragen, ergo: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0,4 & 0,3 & 0,5 & 2,25 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun habe ich (mit dem Taschenrechner, den wir nutzen dürfen) versucht das ganze mit dem Gauss-Verfahren aufzulösen. Ich bekam folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 7,5 \\ 0 & 1 & 1 & -2,5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun habe ich das zunächst zur Veranschaulichung wieder in die normale Schreibweise übertragen, also: 1x+2z=7,5 1y+1z=-2,5 Sie sprachen davon, dass es keine eindeutige Lösung gäbe, da es mehr Variablen als Gleichungen gibt. Den Parameter t haben wir bereits im Unterricht eingeführt. Nun komme ich allerdings zu Problemen. Ich bekomme ja keine eindeutige Lösung heraus. Deswegen würde ich jetzt die obigen Gleichungen weiter umformen: x=7,5-2*z z=-2,5-t Nun würde ich einsetzen, so dass folgende Situation entsteht: x= 7,5-(-2,5-t) z=-2,5-t Lösungsmenge= {10+t;t;-2,5-t} Vorrausgesetzt das dies der richtige Gedankengang ist, bleiben mir allerdings weiterhin Probleme bei der Deutung dieser Situation. Wie übertrage ich diese Lösung auf die Aufgabenstellung? Es muss in diesem Zusammenhang doch so etwas wie ein Optimum/Minimum geben um eine Aussage bzgl. des günstigsten Preis zu treffen. Muss ich hier die Lösungen mit den Preisen verbinden? Ich hoffe auf weitere Hilfe, mfG craxx
18.09.2009, 02:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, im Board haben wir mit dem DU keine Probleme, auch in meinem Alter ist das durchaus in Ordnung Ich habe - trotz zweimaliger Durchrechnung - ein von deinen Resultaten abweichendes Ergebnis. Bei mir ist $\begin{eqnarray} x = 2,5 - 2t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = 2,5 + t \end{eqnarray}$ _____________________ Deine Matrixumformung (mit dem TR) kann ich im Moment nicht nachvollziehen. Die erste Zeile stimmt zwar, aber bei der zweiten stimmt offensichtlich etwas mit den Vorzeichen nicht. Revidiere also bitte vielleicht nochmals deine Rechnung. Das Weitere besprechen wir am Tag - angesichts der bereits weit fortgeschrittenen Tages- bzw. Nachtzeit lasse ich den Rollbalken nun hinunter. mY+
18.09.2009, 20:27	craxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank, dass du mir das "Du" anbietest. ich habe es ebenfalls noch einmal durchgerechnet und gemerkt, dass ich bei der zweiten Gleichung einen Vorzeichenfehler hatte, es muss folgendes sein: 1x+2z=7,5 1y-1z=-2,5 Woraus folgt: x=7,5 - 2z -z=-2,5-t Also: x=7,5 - 2(2,5+t) z=2,5+t Wie du siehst weichen unsere Ergebnisse noch immer von einander ab. Das wird mit Sicherheit irgendein technischer/Eingabefehler sein, egal. Wichtig wäre mir jetzt nur, wie ich - ausgehend von deinen Ergebnissen - weiterrechne? MfG, craxx
18.09.2009, 20:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die weitere Rechnung hängt aber sehr vom richtigen Ergebnis ab. Daher ist es notwendig, dass du zuerst die korrekten Resultate erhältst. Ich habe dir sie ohnehin schon genannt. Wenn du das mit dem Taschenrechner nicht auf die Reihe kriegst, rechne es "mit der Hand"! Das System ist doch sehr einfach und es geht OHNE Taschenrechner und auch ohne Matrix zu lösen, z.B. mit dem Substitutionsverfahren. Danach kann man die weitere Vorgangsweise festlegen. Tipp: Bei der billigsten Variante muss man natürlich von der billigsten Sorte am meisten nehmen, bei der teuersten ist die Überlegung analog ... mY+
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21.09.2009, 13:32	thorbb	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab die aufgabe hier auch mal als Übung gemacht, wie ich jetzt weiterkomme weiß ich jedoch auch nicht genau. Mir gibt zu denken, dass ich jetzt ja nur noch y als Variable habe, daher kann ich ja eigentlich auch nur Aussagen über die Preisveränderung den Dünger y betreffend machen. Preis = 1,6(2,5-2y)+1,8y+1,7*(2,5+y) = 0,3y + 8,25 das einzige was mir das jetzt sagt, ist das was ich schon vorher wusste: Mit viel y wirds teuer. Welchen anderen Weg muss ich einschlagen?
21.09.2009, 19:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Weg ist grundsätzlich der richtige Aus den Resultaten für t muss jedoch zunächst noch der jeweils zulässige Mengenbereich für t erstellt werden, es sind ja auch die Mengen der einzelnen Bestandteile (A, B, C) zu berechnen: $\begin{eqnarray} 0 \leq t \leq 1,25 \ \to 0 \leq x \leq 2,5 \ \text{und} \ 0 \leq y \leq 1,25 \ \text{und} \ 2,5 \leq z \leq 3,75 \end{eqnarray}$ Es gibt daher eben die zwei Varianten, die die Extrema darstellen: Die billigste: $\begin{eqnarray} t (=y) = 0 \end{eqnarray}$ (mit x = 2,5 und z = 2,5) und dem Kilo-Preis von 1,65 € und die teuerste mit $\begin{eqnarray} t = 1,25 \end{eqnarray}$ (x = .., y = .., z = ..). Welchen Kilo-Preis besitzt diese? Hinweis: Die Gesamtmenge muss immer 5 kg betragen, aus den Gesamtkosten ist dann der kg-Preis der Mischung zu errechnen. _____________________ Leider meldet sich craxx nicht mehr; es ist immer dasselbe, nach erfolgter Hilfeleistung scheint es offenbar sehr schwierig, nochmals ein Feedback zu geben .. mY+

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