Beweis Zufallsgröße

16.09.2009, 21:17	Rudi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Zufallsgröße Hi , kann mir jemand bei diesem Beweis helfen : $\begin{eqnarray} V(Z)=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Z=\frac{X- \mu}{\sigma} , \mu=E(X) ; \sigma=\sqrt{V(X)} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} V(Z)=\sum_{k=1}^n~(\frac{x_i-E(X)}{\sqrt{V(X)}}-E(X))^2 \cdot p_i=\sum_{k=1}^n~(\frac{x_i-E(X)}{\sqrt{(x_i-E(X))^2 \cdot p_i}}-E(X))^2 \cdot p_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~(\frac{x_i-E(X)}{x_i-E(X)\cdot \sqrt{p_i} } -E(X))^2 \cdot p_i=\sum_{k=1}^n~(\frac{1}{ \sqrt{p_i} } -E(X))^2 \cdot p_i =\sum_{k=1}^n(\frac{1-E(X)\sqrt{p_i} }{ \sqrt{p_i} })^2 \cdot p_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~\frac{(1-E(X)\sqrt{p_i})^2 }{ p_i }\cdot p_i = \sum_{k=1}^n~(1-E(X)\sqrt{p_i})^2 = \sum_{k=1}^n~1-2\cdot E(X)\sqrt{p_i} + p_i \end{eqnarray}$ Kann das jetzt 1 sein ? grüße
16.09.2009, 21:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ für Erwartungswert und Standardabweichung und nicht $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} o \end{eqnarray}$ . Dein Beitrag ist kaum lesbar. Verteile ihn auf mehrere Latex-Zeilen.
17.09.2009, 08:35	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bei deinem Beweis hast du dich leider gleich bei der ersten Gleichung vertan. Deshalb läuft die Rechnung dann so kollossal aus dem Ruder ... Also: V(Z) = Summe ( ... - E(Z))² * pi Zunächst müssen wir also erst mal E(Z) bestimmen. Und wenn du da ganz genau rechnest, dann wirst du E(Z) = 0 erhalten. Das ist ja gerade der Witz bei der Transformation - dass die z-Werte nun gerade um die 0 streuen. Damit vereinfacht sich die obige Summe natürlich erheblich! Und nun ist die Rechnung kinderleicht. Der Faktor 1/sigma wird nämlich genau deshalb eingeführt, damit die Varianz auf 1 normiert wird. Die Transformation Z = (X - E(X)) / sigma liefert also eine Zufallsvariable, mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 1. Grüße
17.09.2009, 18:43	Rudi	Auf diesen Beitrag antworten »
achso .... ok dann müsste es natürlich so aussehen: $\begin{eqnarray} V(Z)=\sum_{k=1}^n~(\frac{x_i-E(X)}{\sqrt{V(X)}}-E(Z))^2 \cdot p_i=\sum_{k=1}^n~(\frac{x_i-E(X)}{\sqrt{(x_i-E(X))^2 \cdot p_i}}-0)^2 \cdot p_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~(\frac{1}{\sqrt{p_i} })^2 \cdot p_i=\sum_{k=1}^n~\frac{p_i}{_pi} =1 \end{eqnarray}$
17.09.2009, 20:02	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, so richtig happy bin ich mit deiner Beweisführung nicht. Die erste Gleichung stimmt ja noch. Aber bei der zweiten Gleichung hast du dich im Nenner beim Ersetzen des Ausdrucks "Wurzel (V(X))" vertan, da wäre ein zweites Summenzeichen fällig. Diese Ersetzung ist aber gar nicht notwendig. Der Nenner ist nämlich von i unabhängig. Quadriere einfach Zähler und Nenner getrennt, dann fällt im Nenner die Wurzel weg und dann ziehst du den Ausdruck 1/V(X) einfach vor das Summenzeichen. Die verbleibende Summe ergibt nach Definition ebenfalls V(X) (welch ein Wunder ) und schon ist alles bewiesen. Grüße

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