Aussagenlogik

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Trinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagenlogik
Hey Leute,

heute war das Thema bei uns Aussagenlogik. Dort haben wir eine Aufgabe für zu Hause bekommen. Sie lautet:

Seien A,B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass die Aussage (( A => B) n ( B => C )) => (A => C)

eine Tautologie ist.

So eigentlich ja einfaches umformen. Damit hab ich dann auch begonnen. Ich werde jetzt jeden Schritt aufführen den ich gemacht habe:
Legende:
-B = Negation von hier B
v = oder
n = und
=> = Implikation

Zur Vereinfachung ein paar Regeln:
(1) ( A => B) <=> ( -A oder B)
(2) -(A n B) <=> -A v -B
(3) --A <=> A
(4) -(A v B) <=> -A n -B
(5) A v ( B n C ) <=> ( A v B ) n ( A v C )

Ausgangsformel:
(( A => B) n ( B => C )) => (A => C)

Regel 1:
((-A v B) n (-B v C)) => (-A v C)
also erstmal die 3 Implikationen umgewandelt in Oder-verknüpfungen
Regel 1:
-((-A v B) n (-B v C)) v (-A v C)
jetzt die große Implikation umgewandelt
Regel 2:
(-(-A v B) v -(-B v C)) v (-A v C)
Die große Negation umgewandelt aus UND wurde ODER
Regel 4:
((--A n B) v (--B n C)) v (-A v C)
die kleineren negationen über 2 Aussagen umgwandelt in einzelne Negationen aus ODER wird UND
Regel 3:
((A n B) v (B n C)) v (-A v C)
doppel Negationen fallen weg
Regel 5:
wobei da bin ich mir nicht sicher ob das sinnvoll war, aber mir fällt nicht ein wie ich es weiter auflösen kann:
((A v B) n (A v -C) n (-B v B) n (-B v -C)) v (-A v C)
so (-B v B) wird zu wahr, da es nur diesen Wert annehmen kann!

Aber da weiß ich jetzt wirklich nicht weiter, wie kann ich diese Aussage weiter auflösen sodass ich am Ende ein brauchbares ergebnis habe... Vielleicht sogar nur ein "wahr"

Ich hab es mal mit einer Warheitstabelle versucht und rausbekommen das es wirklich eine Tautologie ist. Oder habe ich mich da ebenfalls verrechnet?

Würde mich über Tipps freuen

lg
trini
Trinitus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagenlogik
Ich merke grade ich hab das Thema im falschen Forum eröffnet! Kann das wer zur Hochschulmathematik verschieben?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagenlogik
Der Ausdruck ist natürlich allgemeingültig, also eine Tautologie, wie du ja mit Hilfe der Wahrheitstabelle festgestellt hast. Wenn du Wahrheitstabellen verwenden darfst, bist du schon fertig.

Wenn die Allgemeingültigkeit allerdings mit Hilfe eines Logikkalküls gezeigt werden soll, ist die Frage, welche Umformungsregeln zum Kalkül gehören und welche Ausdrücke als allgemeingültig vorausgesetzt werden dürfen.

Allgemeingültigkeit kann mit der konjunktiven Normalform eines Ausdrucks gezeigt werden. Deine Regeln (1) bis (5) reichen aus, diese herzustellen, wenn man Regel (5) auch in der Form



benutzen darf. Deine Umformungen sind auch zielführend, um eine konjunktive Normalform herzustellen, ohne dass ich ihre Korrektheit im Detail geprüft habe. Wenn aber kein Fehler passiert ist, bleibt nur noch übrig, bei deinem letzten Ausdruck die noch außerhalb von Klammern stehenden mit Regel (5) in die Klammern zu schieben.
Trinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diese Antwort und sorry für meine späte antwort :-) ich hab zwar keinen fehler bei der umformung gemacht aber ich hab etwas übersehen. Die ganze Aussage ist eine Tautologie, wie es ja auch die wahrheitswertetabelle ergeben hat.

Da wo ich Regel 3 angewendet habe, konnte ich die klammern auflösen und so herausbekommen das die aussage wahr ist :-).
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