Grenzwerte allgemein

17.09.2009, 13:03

Eva-S

Grenzwerte allgemein

Folgendes habe ich mir für Grenzwerte notiert, bin aber durch eine Musterlösung jetzt grade doch etwas durcheinandergekommen:

Es gilt bei lim:

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$

dann l'hospital anwenden nach Möglichkeit.

Bei
$\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{1} = \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{0}{1} = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} = \infty \end{eqnarray*}$

Bei meiner Musterlösung kam für den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} = divergent \end{eqnarray*}$

heraus. Was stimmt denn nun?

17.09.2009, 13:10

tigerbine

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RE: Grenzwerte allgemein
Denke, dass ist eine Frage, wie ihr das Symbol $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ belegt habt. Das man es hinschreibt bedeutet nicht, dass Konvergenz vorliegt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%...immte_Divergenz

17.09.2009, 13:26

Eva-S

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RE: Grenzwerte allgemein
Folge Aufgabe als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x) \cdot cos(x) }{x^2} = \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

nach Anwendung von l' Hospital komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x) \cdot cos(x)+ sin(x) \cdot (- sin(x)) }{2x} = \frac{1}{0}= \infty \end{eqnarray*}$

es existiert also kein Grenzwert, korrekt?

17.09.2009, 13:30

tigerbine

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RE: Grenzwerte allgemein
Ja, dann exisitert der Grenzwert nicht.

17.09.2009, 13:37

Eva-S

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RE: Grenzwerte allgemein
Wie würdest Du an

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{tan(x)}{x} \end{eqnarray*}$

herangehen bzw. wie würdest Du lösen?

17.09.2009, 13:40

tigerbine

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RE: Grenzwerte allgemein
L'Hospital.

20.09.2009, 23:40

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von tigerbine
Ja, dann exisitert der Grenzwert nicht.

Das stimmt zwar in diesem Fall, ist aber im Allgemeinen nicht richtig. L'Hospital ist nur anwendbar, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}~\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ auch (eigentlich oder uneigentlich) existiert. Falls er nicht existiert, so bringt einem l'Hospital keine Aussage.

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