Konvergenz mit Hilfe der e Funktion und des Logarithmus

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JuliusSpringer Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz mit Hilfe der e Funktion und des Logarithmus
Hallo Community,

ich habe hier eine nette Aufgabe, bei der ich Hilfe brauche,

der Grenzwert von:



Jetzt habe ich das so umgeformt:


Und hab dann nochmal mit exp(x) erweitert, das geht weil die e funktion stetig ist.



Jetzt kann man ohne Probleme den Grenzwert bilden und erhäht:



Stimmt meine Rechnung

Wolfram Alpha sagt nämlich was anderes

Vielen Dank!
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Wolfram wird in aller Regel kein falsches Ergebnis anzeigen. Dein "erweitern" mit exp geht nicht so ganz, was man einfach an dem Beispiel sieht.
Was du meinst ist die Monotonie der e-Funktion und sagt lediglich, dass
Wirr Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt:
.

Mit der Regel von L’Hospital (Voraussetzungen prüfen) folgt:
.
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grenzwert ist jedoch je nach Seite genauso wie Wolfram es anzeigt. ( x²<|x| für |x|<1 )
JuliusSpringer Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Den Fehler werde ich bestimmt nun nicht mehr machen!
JuliusSpringer Auf diesen Beitrag antworten »

Dumme Frage, warum kann ich dann einfach das hier machen:





Mir ist schon klar, dass meine Umformung falsch ist und diese hier richtig.

Mir geht es aber ums Prinzip. Warum ist das logarithmieren hier eine Äquivalenzumformung und das mit dem exp Erweitern nicht.

Vielen Dank!
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Logarithmieren ist eindeutig eine Äquivalenzumformung. Denn wenn zwei Potenzen gleicher Basis gleichgesetzt werden, sind auch die Exponenten gleich.

Deine "exp-Erweiterung" ist jedoch keine Äquvalenzumformung, weil sie nicht die Umkehrung des Logarithmierens ist. Demnach wäre dies so unrichtig wie . Konsequenterweise müsste zum Entlogarithmieren ein Term der Form stehen, damit er in übergeführt werden könnte.

Den Bruch zu entlogarithmieren, würde aber zu führen.

mY+
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