Extremalproblem!

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Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalproblem!
Hallo liebe Community,
ich habe folgende Aufgabe bekommen und war nicht in der Schule, als das Thema begonnen wurde.
Eigentlich bin ich richtig gut in Mathe aber hier komm ich so überhaupt nicht weiter:

Einem Quadrat mit der Seitenlänge 6m soll ein gleichschenkliges Dreieck so eingeschrieben werden, dass eine seiner Ecken mit einer Quadratecke susammenfällt. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks zu wählen, damit sein Flächeninhalt maximal wird?

Wir haben dazu in der Schule bereits eine Formel für den Flächeninhalt aufgestellt (Ob es die Haupt- oder die Nebenbedingung ist, weiß ich nicht...ich hab wie gesagt, wenig Ahnung davon):



(Da war ein Schaubild im Buch dabei. Ich kanns eigentlich nur beschreiben:
Ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 und darin ein gleichschekliges Dreieck, dessen
Spitze im rechten unteren Eck des Quadrats war. Die Schenkel waren in diagonaler Richtung - also zum linken oberen Eck - gerichtet und die beiden anderenEcken des Dreiecks waren jeweils mit einem Abstand von x von der linken oberen Ecke des Quadrats entfernt.)

Wär super, wenn mir da jemand helfen könnte!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Da ihr die Gleichung für den Flächeninhalt schon aufgestellt habt und nur 1 Variable vorhanden ist, kann man diese nun direkt ableiten und dann 0 setzen (=> Maximum bestimmen) smile


edit: Natürlich noch ein bisschen vereinfachen vorher (sollte klar sein, aber ich schreibe es lieber noch dazu.... Augenzwinkern )
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Bei mir ist grad total der Wurm drin!

Die Erklärung hat mir leider nicht viel weiter geholfen...gut, ich sitz jetzt 4 Stunden an dem Mist und kann mich vielleicht nicht mehr richtig konzentrieren...hab nur nachgedacht und da ist mir die Idee gekommen, dass das Dreieck am größten sein muss, wenn es einfach das halbe Quadrat ist, also gleichzeitig ein rechtwinkliges Dreieck. Also eigentlich einfach 6²/2.
Aber ich soll das ja mithilfe dieser Haupt- und Nebenbedingung berechnen. Und da hab ich das System eben nicht annähernd verstanden -.-
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Zunächst:
Ihr habt den Flächeninhalt des Dreiecks beschrieben, indem vom Quadrat die 3 kleinen Teilflächen abgezogen wurden und die Fläche des Dreiecks bleibt.

Diese Funktion ist nur von der Größe x abhängig.
Da nur 1 Variable vorhanden ist, kann man sich sparen, noch eine Nebenbedingung aufzustellen.
Man kann direkt ableiten.

Allerdings empfieht es sich, die Gleichung vorher zu vereinfachen. Hast du das gemacht?
Die vereinfachte Gleichung muss abgeleitet werden. Anschließend wird die Ableitung 0 gesetzt (V '(x)=0), weil ein Extremwert gesucht wird.
Kannst du ableiten?
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Vereinfacht hab ich das, ja!
Ableiten? Ich wüsste nicht, wie ich das machen sollte, nein unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
In welche Klasse gehst du denn?
 
 
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Bin grad in die 11 gekommen...kann sein, dass ich eigentlich ableiten können müsste aber ich wüsst jetzt nicht wie =/
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
z.B.: die Ableitung von = 2x

Das sollte in der 11. eigentlich bekannt sein. verwirrt
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
In dem Beispiel müsste x=2 sein, oder?
Aber wir haben nie wirklich mit dem Begriff "ableiten" gearbeitet...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Ja, da fangt ihr wohl grade erst mit an.Augenzwinkern

Dann lässt sich die Aufgabe auch über die Scheitelpunkt der Funktion
lösen.

Wie lautet denn die vereinfachte Funktionsgleichung?
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Ich habs jetzt aufgelöst bis:

A(x)=-x²-12x

Bloß weiß ich jetzt nicht wirklich weiter.

Der Maximalwert der hier für die größtmögliche Fläche gesucht ist, muss ja der y-Wert vom Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel sein. Also der Höchste Punkt.
Und der Vorfaktor vom x² ist immerhin negativ. Das ist doch schonmal was! =)

Um den Scheitelpunkt zu ermitteln, muss ich die Gleichung in die Scheitelpunktform umwandeln:

A(x)=-(x-6)²+36
Demnach wäre der Maximalwert 36m²
Aber das ist genau die Größe des Quadrats und das verwirrt mich eben.
Das Dreieck kann unmöglich genauso groß sein oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Also, ich komme auf

Wie hast du den Faktor 1/2 entfernt? verwirrt
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Ich hab |*2 gerechnet...ist das falsch? öÖ

Ach, ist das, weil ich das die Äquivalenzumformung nicht anwenden darf, wenn ich auf der einen Seite das A(x) steheh hab?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Genau Augenzwinkern

Du kannst allerdings -1/2 ausklammern....smile
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Ja aber dann steht da doch:
A(x)=-1/2(x+3)²-9
Dann wäre der Maximalwert ja negativ, das geht doch nicht, wenns ein Flächeninhalt sein soll...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Jetzt kommst du leider falsch...



jetzt die quadratische Ergängzung:



Weißt du, wie es weiter geht?
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Ich glaube ja:



Also entweder ich hab schon wieder irgendeinen dummen Fehler gemacht oder das ist einfach negativ. Außerdem ist es meiner Meinung nach wieder zu groß
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Nein, es stimmt alles, bloß bist du noch nicht fertig, 1 Schritt fehlt noch:





Jetzt hast du die Scheitelpunktform und kannst sowohl den gesuchten Wert für x als auch den maximalen Flächeninhalt ablesen. smile
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Super, wofür ist diese ganze Rechnerei denn gut, wenn man sich das alles logisch erdenken kann? verwirrt

Also sind die Seiten tatsächlich die Quadratsseiten...ich danke dir!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Die Sache ist die, dass das Dreieck praktisch mit einer Seite eine Seite des Quadrats bedeckt.
Die Aufgabenstellung und die Skizze, die du beschrieben hast, sind da nicht so ganz eindeutig....
In der Tat: man hat es sich denken können, allerdings sollte man es auch errechnen können....smile
Steffy_93 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
In meinem Buch war es eben als längliches Dreieck gezeigt und das hat mich wohl auch dezent verwirrt^^'

Aber danke, dass du mir so lange geholfen hast! =]

Und gute Nacht^^
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalproblem!
Jo, Gruß nach Weiterstadt, kenne ich übrigens, weil ich in Darmstadt zur Schule gegangen bin...Augenzwinkern
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