Bestimme alle Einheiten des Ringes Z[sqrt(d)] d<0

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18.09.2009, 10:24	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme alle Einheiten des Ringes Z[sqrt(d)] d<0 Hallo mal wieder Der Tietel ist Programm Bestimme alle Einheiten des Ringes $\begin{eqnarray} Z[\sqrt(d)] \end{eqnarray}$ , d<0 Ich komme einfach nicht weiter. warscheinlich ist es nur ein Einzeiler aber ich habe irgent wie ein Brett vor dem Kopf. Definition von Einheit ist ja a ist Einheit <=> es ex. ein b mit a*b=1 aber ich kann das einfach nicht übertragen also schon mal danke für jede Hilfe
18.09.2009, 11:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Einheiten des Ringes Z[sqrt(d)] d<0 Hi Zadu, Wo liegt denn genau das Problem? Wenn Du nicht weißt, wie die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \end{eqnarray}$ aussehen, dann sag das einfach. Andernfalls kannst Du wenigstens einen Ansatz hinschreiben, denn alles nötige dazu hast Du ja schon da. Du musst doch nur in die Definition von Einheit Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \end{eqnarray}$ einsetzen. Gruß, Reksilat.
18.09.2009, 11:41	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Einheiten des Ringes Z[sqrt(d)] d<0 nun ich halte es für den Ring wo alle element etwa so aussehen: sei b Elemnt Z => b* $\begin{eqnarray} \sqrt{d} \end{eqnarray}$ nun kann ich mir zwar ein inverses konstruieren c:=(1/b)1/ $\begin{eqnarray} (\sqrt{d}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} b^{-1}1/(\sqrt{d}) \end{eqnarray}$ aber 1/ $\begin{eqnarray} (\sqrt{d}) \end{eqnarray}$ ist doch nicht Teil des Ringes oder?
18.09.2009, 12:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimme alle Einheiten des Ringes Z[sqrt(d)] d<0 Nun, dann sind dort ja schon die ersten Probleme. Die Elemente sind nicht einfach ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray} \sqrt{d} \end{eqnarray}$ , denn dann wäre ja zum Beispiel die 1 nicht im Ring. Vielmehr ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{d}]=\{a+b\sqrt{d}\big\|a,b\in\mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ Damit kann man sich jetzt den Ansatz aufschreiben und ein wenig rumrechnen. Tipp: Wenn $\begin{eqnarray} a+b\sqrt{d} \end{eqnarray}$ eine Einheit ist, wieso müssen dann a und b teilerfremd sein. Gruß, Reksilat. (Bin vorerst weg, falls jemand anders helfen möchte.)
18.09.2009, 12:52	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erst mal man kann zeigen, dass ein element genau dann Einheit ist wenn der Betrag der norm des Elements gleich 1 ist also $\begin{eqnarray} \|N(a+b\sqrt{d})\| =\| a^2 - b^2d \|=1 \end{eqnarray}$ das habe ich so gemacht: offensichtlich ist $\begin{eqnarray} (a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d})=\| a^2 - b^2d \| \end{eqnarray}$ anderer seits findet man wenn man gezeigt hat, dass N(x,y)=N(x)N(y) die umkehrung des ganzen. bringt einem die Lösung: Die Menge der Einheiten E:= $\begin{eqnarray} \left\{ a + b\sqrt{d}: \| a^2 - b^2d \|=1\right\} \end{eqnarray*}$ das war kompliziert. geht das vielleicht noch einfacher zumal ich ja den Tipp von Reksilat gar nicht benutzt habe?
18.09.2009, 13:35	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, wenn Du so weit bist, ist der Tipp natürlich unnötig. Deine Lösung ist jetzt zwar korrekt, aber eben noch nicht vollständig, da man die Forderung $\begin{eqnarray} \|a^2-b^2\cdot d\|=1 \end{eqnarray}$ noch vereinfachen kann. Immerhin ist ja immer $\begin{eqnarray} d<0 \end{eqnarray}$ .
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18.09.2009, 13:46	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja sehe ich, die Betragsstriche können weg, da der ganze Term größer als 0 wird, aber worauf hatte denn nun dein Tipp eigendlich abgezielt?
18.09.2009, 13:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tipp ist nicht wichtig, wichtig ist, dass Du noch immer nicht am Ende bist. Man kann die Einheiten nämlich explizit aufschreiben, da es immer nur endlich viele sind. Die Anzahl hängt dabei auch von $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ab.
18.09.2009, 14:26	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
also a²-b²*d=1 ablesen kann man dass für b ungleich 0 es keine Lös. Gibt und wenn b = 0 dann a=1 oder -1 formen wir um zu d=(a²-1)/b² aber das hat aber für d<0 keine ganzzahligen Lösungen =>Widerpruch zur Vorraussetzung => es gibt keine Einheiten in diesem Ring außer die oben genannten?
18.09.2009, 14:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt für $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ auch Lösungen, allerdings nur für bestimmte $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ . Setze doch einfach mal $\begin{eqnarray} c:=-d \end{eqnarray}$ , vielleicht sagt Dir ja die Gleichung $\begin{eqnarray} a^2+b^2\cdot c=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a^2,b^2,c\geq 0 \end{eqnarray}$ mehr.
18.09.2009, 16:26	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
a=0, b Element Z aber ungleich 0, d=-(1/b²) hatte es ja eigendlich schon fast einmal hingeschrieben noch mal danke für deine Hilfe
18.09.2009, 16:32	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist Du Dir sicher, dass da nirgendwo was von $\begin{eqnarray} d\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ steht?
18.09.2009, 16:54	Zadu	Auf diesen Beitrag antworten »
jep gefordert ist nur d<0
18.09.2009, 17:36	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist für $\begin{eqnarray} d \notin \mathbb Z \end{eqnarray}$ einfach nur sinnlos...

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